Determine o trabalho mecânico do campo de forças F(xk y, z)=2 x imath+3 y jmath+x z k ao se mover uma partícula por um caminho retilíneo do ponto (0,1,1) ao ponto (3,4,5).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho mecânico
W = integralC Fcdot dvec r
do campo de forças F(x,y,z)=2x,vecimath+3y,vecjmath+xz,vec k ao longo do caminho retilíneo C que leva a partícula de (0,1,1) a (3,4,5). Vamos usar parametrização de reta e o produto escalar F(r(t))cdot r'(t).

Passo 2

Parametrizamos C por
vec r(t) = (0,1,1) + tl((3,4,5)-(0,1,1)r) = (3t,;1+3t,;1+4t),
com tin[0,1]. Então
vec r,'(t) = l(3,;3,;4r)

Passo 3

Em vec r(t), o campo fica
vec Fl(vec r(t)r) = 2,(3t),vecimath +3,(1+3t),vecjmath +(3t)(1+4t),vec k = l(6t,;3+9t,;3t+12t^2r)

Passo 4

O integrando é
vec F(vec r(t))cdot vec r,'(t) = (6t,,3+9t,,3t+12t^2)cdot(3,,3,,4) =18t +9+27t +12t+48t^2 =9 +57t +48t^2
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W = integral0^1l(9+57t+48t^2r),dt = l[9t + tfrac572t^2 +16t^3r]0^1 =9 + tfrac572 +16 = tfrac1072

Resposta

W = 1072

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