(34 pts) Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -5 & -2 & 4 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] .
(a) ( \mathbf{8} pts) Encontre uma matriz elementar E tal que E A=B.
(b) ( \mathbf{8} pts) Utilizando o desenvolvimento de Laplace pela \mathbf{2}^{\underline{\boldsymbol{a}}} coluna, calcule \operatorname{det} B.
(c) ( \mathbf{1 0} pts) A matriz B é inversível? Se possível, encontre a inversa de B e mostre que a matriz encontrada é, de fato, a inversa de B.
(d) (8 pts) Quantas soluções tem o sistema B X=C ? Justifique!

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] -5 & -2 & 4 \\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Encontrar uma matriz elementar E tal que E A=B.
(b) Utilizando desenvolvimento de Laplace pela \mathbf{2}^{\underline{\text{a}}} coluna, calcular \det B.
(c) Dizer se B é inversível; se for, encontrar B^{-1} e mostrar que a matriz encontrada é de fato a inversa.
(d) Determinar quantas soluções tem o sistema B X=C e justificar.
Listado o que temos de relevante:
  • As duas matrizes A e B (copiadas acima).
  • Observação rápida: as linhas 1 e 3 de A e B coincidem; apenas a segunda linha muda (isso será útil para (a)).
  • Nada mais é dado (o vetor C em (d) é genérico).]

Passo 2

Entendendo o que significa achar uma matriz elementar E com E A=B.
Breve aula (bem prática): uma matriz elementar E representa uma operação elementar sobre linhas aplicada à esquerda. Multiplicar A por E do lado esquerdo corresponde a fazer em A a operação de linhas codificada por E. Como as linhas 1 e 3 de A e B coincidem, só precisamos modificar a linha 2 de A para obter B.
Vamos descobrir a operação sobre linhas que transforma a segunda linha de A, que é
\text{linha}_2(A) = (1,\,1,\,1),
na segunda linha de B,
\text{linha}_2(B) = (-5,\,-2,\,4).
Procuramos coeficientes a,b,c tais que
a\cdot(1,2,-1) + b\cdot(1,1,1) + c\cdot(2,1,-1) = (-5,-2,4),
isto é, combinar linhas 1,2,3 de A para formar a nova linha 2. Resolvendo o sistema (com desenvolvimento elementar) obtém-se
(a,b,c)=(0,1,-3),
ou seja
\text{nova linha}_2 = \text{linha}_2 - 3\cdot\text{linha}_3.
Portanto a operação elementar é R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3.
A matriz elementar correspondente (obtida aplicando essa operação à identidade I_3) é
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos conferir multiplicando E A. Calculemos a segunda linha de E A: é 0\cdot\text{linha}_1(A)+1\cdot\text{linha}_2(A)-3\cdot\text{linha}_3(A)=\text{linha}_2(A)-3\text{linha}_3(A), que já vimos ser (-5,-2,4). As linhas 1 e 3 permanecem iguais. Logo E A=B, como pedido.

Passo 3

Cálculo de \det B por desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna (aula curta sobre Laplace).
Explicação: o desenvolvimento de Laplace pela coluna j escreve
\det B=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+j} b_{i j}\det(M_{i j}),
onde b_{ij} é o elemento de B na linha i, coluna j, e M_{ij} é a matriz obtida de B eliminando a linha i e a coluna j (matriz menor 2\times2 aqui).
Aplicando à coluna j=2:
  • Para i=1: b_{12}=2. O menor M_{12} é
M_{12}=\begin{pmatrix}-5 & 4 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix},
logo \det(M_{12}) = (-5)(-1) - 4\cdot 2 = 5-8 = -3. O cofator é (-1)^{1+2}=-1. Contribuição: (-1)\cdot 2\cdot(-3)=6.
  • Para i=2: b_{22}=-2. O menor M_{22} é
M_{22}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix},
logo \det(M_{22}) = 1\cdot(-1) - (-1)\cdot 2 = -1 +2 = 1. O cofator é (-1)^{2+2}=+1. Contribuição: +1\cdot(-2)\cdot 1 = -2.
  • Para i=3: b_{32}=1. O menor M_{32} é
M_{32}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -5 & 4\end{pmatrix},
logo \det(M_{32}) = 1\cdot 4 - (-1)\cdot(-5) = 4 -5 = -1. O cofator é (-1)^{3+2}=-1. Contribuição: (-1)\cdot 1\cdot(-1)=1.
Somando as contribuições:
\det B = 6 + (-2) + 1 = 5.]

Passo 4

Decidir invertibilidade e encontrar B^{-1}.
Teoria curta e prática: uma matriz quadrada B é invertível se, e somente se, \det B \neq 0. Como calculamos \det B = 5 \neq 0, concluímos que B é invertível e existe B^{-1}. Uma forma eficaz de calcular B^{-1} sem fazer redução de linhas é usar a adjunta (adjugate): para matriz 3\times3,
B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\operatorname{adj}(B),
onde \operatorname{adj}(B) é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular todos os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}):
  • C_{11} = (-1)^{2}\det\begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} = 1\cdot\big((-2)(-1)-4\cdot 1\big) = -2.
  • C_{12} = (-1)^{3}\det\begin{pmatrix}-5 & 4 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} = -1\cdot(-3)=3.
  • C_{13} = (-1)^{4}\det\begin{pmatrix}-5 & -2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot(-1)=-1.
  • C_{21} = (-1)^{3}\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} = -1\cdot(-1)=1.
  • C_{22} = (-1)^{4}\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} = 1\cdot 1 =1.
  • C_{23} = (-1)^{5}\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} = -1\cdot(-3)=3.
  • C_{31} = (-1)^{4}\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot(2\cdot 4 - (-1)(-2)) = 6.
  • C_{32} = (-1)^{5}\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -5 & 4\end{pmatrix} = -1\cdot(-1)=1.
  • C_{33} = (-1)^{6}\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -5 & -2\end{pmatrix} = 1\cdot(1\cdot(-2)-2\cdot(-5)) = 8.
Assim a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\[4pt] 1 & 1 & 3 \\[4pt] 6 & 1 & 8 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(B)=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 6 \\[4pt] 3 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & 3 & 8 \end{pmatrix}.
Logo
B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\operatorname{adj}(B)=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -2 & 1 & 6 \\[4pt] 3 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & 3 & 8 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (mostrando que a matriz encontrada é realmente a inversa): multiplicando B por \operatorname{adj}(B) obtém-se 5I_3. Cálculo das entradas (um exemplo representativo):
  • Primeira linha de B vezes primeira coluna de \operatorname{adj}(B):
1\cdot(-2)+2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)= -2+6+1=5.
As outras entradas fora da diagonal saem 0 (fizemos as contas completas durante a resolução), e as entradas da diagonal são 5. Assim
B\cdot\operatorname{adj}(B)=5I_3,
logo multiplicando por 1/5 obtemos B B^{-1}=I_3. Isso confirma que a matriz acima é B^{-1}.]

Passo 5

Quantas soluções tem o sistema B X = C?
Teoria curta: se B é inversível (isto é, \det B\neq 0), então para todo C\in\mathbb{R}^3 existe uma única solução, dada por X=B^{-1}C.
Como já vimos \det B = 5 \neq 0 e determinamos B^{-1}, concluímos que o sistema B X=C tem exatamente uma solução para qualquer vetor C; a solução é
X = B^{-1}C = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -2 & 1 & 6 \\[4pt] 3 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & 3 & 8 \end{pmatrix} C.]

Resposta

(a) \displaystyle E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \det B = 5
(c) \displaystyle B\\ \text{é inversível e}\\ B^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-2 & 1 & 6 \\[4pt] 3 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & 3 & 8\end{pmatrix}éí
(d) Para qualquer vetor C o sistema B X=C tem exatamente uma solução, dada por \displaystyle X=B^{-1}C.]

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