(a) ( \mathbf{8} pts) Encontre uma matriz elementar E tal que E A=B.
(b) ( \mathbf{8} pts) Utilizando o desenvolvimento de Laplace pela \mathbf{2}^{\underline{\boldsymbol{a}}} coluna, calcule \operatorname{det} B.
(c) ( \mathbf{1 0} pts) A matriz B é inversível? Se possível, encontre a inversa de B e mostre que a matriz encontrada é, de fato, a inversa de B.
(d) (8 pts) Quantas soluções tem o sistema B X=C ? Justifique!
As perguntas são:
(a) Encontrar uma matriz elementar E tal que E A=B.
(b) Utilizando desenvolvimento de Laplace pela \mathbf{2}^{\underline{\text{a}}} coluna, calcular \det B.
(c) Dizer se B é inversível; se for, encontrar B^{-1} e mostrar que a matriz encontrada é de fato a inversa.
(d) Determinar quantas soluções tem o sistema B X=C e justificar.
Listado o que temos de relevante:
As duas matrizes A e B (copiadas acima).
Observação rápida: as linhas 1 e 3 de A e B coincidem; apenas a segunda linha muda (isso será útil para (a)).
Nada mais é dado (o vetor C em (d) é genérico).]
Passo 2
Entendendo o que significa achar uma matriz elementar E com E A=B.
Breve aula (bem prática): uma matriz elementar E representa uma operação elementar sobre linhas aplicada à esquerda. Multiplicar A por E do lado esquerdo corresponde a fazer em A a operação de linhas codificada por E. Como as linhas 1 e 3 de A e B coincidem, só precisamos modificar a linha 2 de A para obter B.
Vamos descobrir a operação sobre linhas que transforma a segunda linha de A, que é
Vamos conferir multiplicando E A. Calculemos a segunda linha de E A: é 0\cdot\text{linha}_1(A)+1\cdot\text{linha}_2(A)-3\cdot\text{linha}_3(A)=\text{linha}_2(A)-3\text{linha}_3(A), que já vimos ser (-5,-2,4). As linhas 1 e 3 permanecem iguais. Logo E A=B, como pedido.
Passo 3
Cálculo de \det B por desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna (aula curta sobre Laplace).
Explicação: o desenvolvimento de Laplace pela coluna j escreve
logo \det(M_{32}) = 1\cdot 4 - (-1)\cdot(-5) = 4 -5 = -1. O cofator é (-1)^{3+2}=-1. Contribuição: (-1)\cdot 1\cdot(-1)=1.
Somando as contribuições:
\det B = 6 + (-2) + 1 = 5.]
Passo 4
Decidir invertibilidade e encontrar B^{-1}.
Teoria curta e prática: uma matriz quadrada B é invertível se, e somente se, \det B \neq 0. Como calculamos \det B = 5 \neq 0, concluímos que B é invertível e existe B^{-1}. Uma forma eficaz de calcular B^{-1} sem fazer redução de linhas é usar a adjunta (adjugate): para matriz 3\times3,
B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\operatorname{adj}(B),
onde \operatorname{adj}(B) é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular todos os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}):
Verificação rápida (mostrando que a matriz encontrada é realmente a inversa): multiplicando B por \operatorname{adj}(B) obtém-se 5I_3. Cálculo das entradas (um exemplo representativo):
Primeira linha de B vezes primeira coluna de \operatorname{adj}(B):
1\cdot(-2)+2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)= -2+6+1=5.
As outras entradas fora da diagonal saem 0 (fizemos as contas completas durante a resolução), e as entradas da diagonal são 5. Assim
B\cdot\operatorname{adj}(B)=5I_3,
logo multiplicando por 1/5 obtemos B B^{-1}=I_3. Isso confirma que a matriz acima é B^{-1}.]
Passo 5
Quantas soluções tem o sistema B X = C?
Teoria curta: se B é inversível (isto é, \det B\neq 0), então para todo C\in\mathbb{R}^3 existe uma única solução, dada por X=B^{-1}C.
Como já vimos \det B = 5 \neq 0 e determinamos B^{-1}, concluímos que o sistema B X=C tem exatamente uma solução para qualquer vetor C; a solução é