(21 pts) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se A=C D, em que C^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 3\end{array}\right], D^{-1}=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right], então a solução do sistema A X=B é X=\left[\begin{array}{r}9 \\\\ -1\end{array}\right].
(b) ( ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n inversíveis então
(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1} .
(c) ( ) Se A=P^{t} D P, onde D é uma matriz diagonal, então A é uma matriz simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. As três afirmações dadas são:
então a solução do sistema A X=B é X=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
(b) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n inversíveis então
(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}.
(c) Se A=P^{t} D P, onde D é uma matriz diagonal, então A é uma matriz simétrica.
As informações relevantes dadas explicitamente são as matrizes C^{-1}, D^{-1} e B; e a relação A=C D (isto é, A é o produto de C por D). A tarefa é decidir V/F para (a), (b) e (c) com justificativas.]
Passo 2
Explicação da ideia e fórmula que vou usar para a parte (a).
Quando A=C D com C e D inversíveis, a inversa de A é dada por
A^{-1}=(C D)^{-1}=D^{-1}C^{-1}.
Isto decorre da propriedade (XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1} válida para matrizes invertíveis X,Y. Para resolver A X=B usando inversas, se A é inversível então
X=A^{-1}B.
Portanto, com os dados, devemos calcular
X=D^{-1}C^{-1}B.
Vou mostrar passo a passo as multiplicações matriciais de C^{-1}B e depois de D^{-1} pelo resultado.
Portanto a solução exata é X=\begin{pmatrix}11\\[4pt]-1\end{pmatrix}, não \begin{pmatrix}9\\[4pt]-1\end{pmatrix}. Conclusão: a afirmação (a) é falsa. Observação pedagógica: é comum errar pelo fato de trocar a ordem das multiplicações; lembre que (CD)^{-1}=D^{-1}C^{-1}, ordem invertida.]
Passo 5
Avaliação da afirmação (b) com explicação e contra-exemplo simples.
A afirmação afirma que para quaisquer matrizes invertíveis A e B vale
(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}.
Isto implicaria, se multiplicarmos à esquerda por (A+B),
I=(A+B)(A^{-1}+B^{-1}).
Vou mostrar que isso não é verdade em geral com um contra-exemplo muito simples usando escalares (caso n=1 reduz a matrizes 1\times 1).
Passo 6
Contra-exemplo numérico para (b).
Escolha A=(1) e B=(1) (matrizes 1\times 1 com o número 1). Então
A+B=(2)\quad\Rightarrow\quad (A+B)^{-1}=(1/2).
Por outro lado,
A^{-1}+B^{-1}=1+1=2.
Como 1/2\neq 2, a igualdade em (b) falha mesmo neste caso simples. Logo (b) é falsa. (Comentário: existem casos especiais em que a igualdade pode coincidir, mas não é verdadeira para todas as matrizes invertíveis.)
Passo 7
Avaliação da afirmação (c) com explicação das propriedades do transposto.
Queremos verificar se A=P^{t} D P com D diagonal implica que A é simétrica. Lembrar a propriedade do transposto de um produto:
(XY)^t = Y^t X^t
para matrizes compatíveis. Também D^t=D porque D é diagonal (toda matriz diagonal é igual à sua transposta).
Passo 8
Cálculo do transposto de A e conclusão para (c).
Começando com A=P^{t} D P, calcule o transposto:
A^t=(P^{t} D P)^t.
Usando (XY)^t=Y^t X^t primeiro em (P^{t} D)P obtemos
A^t = P^t (P^{t} D)^t.
Agora (P^{t} D)^t = D^t (P^{t})^t. Como D^t=D e (P^{t})^t=P, segue
A^t = P^t \, D \, P.
Mas isso é exatamente A. Portanto A^t=A, ou seja, A é simétrica. Conclusão: a afirmação (c) é verdadeira. Observação pedagógica: não é necessário que P seja ortogonal; a forma P^{t} D P já garante simetria porque o transposto “virará” a mesma expressão.