Suponhamos que A é uma matriz de ordem 5, B a matriz obtida de A através das seguintes operações elementares sobre as linhas de A (nessa ordem)
L_{1} \rightarrow-\frac{1}{3} L_{1} \quad L_{3} \rightarrow L_{3}+\frac{1}{2} L_{2} \quad L_{3} \leftrightarrow L_{4} \quad L_{5} \rightarrow-4 L_{5}
tal que \operatorname{det} B=8 e D uma matriz quadrada satisfazendo a condição que \left(D B^{-1}\right)^{t}+\frac{1}{2} A^{2}=0.
Calcule:
\operatorname{det} D.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo tirado do enunciado):
  • A é uma matriz quadrada de ordem 5.
  • B é obtida a partir de A por operações elementares sobre as linhas, na seguinte ordem:
    1. L_{1}\rightarrow -\dfrac{1}{3}L_{1}.
    2. L_{3}\rightarrow L_{3}+\dfrac{1}{2}L_{2}.
    3. L_{3}\leftrightarrow L_{4} (troca das linhas 3 e 4).
    4. L_{5}\rightarrow -4L_{5}.
  • Foi dado que \det B = 8.
  • D é uma matriz quadrada (logo também de ordem 5) que satisfaz \left(DB^{-1}\right)^{t}+\frac{1}{2}A^{2}=0.
  • O que se pede: calcular \det D.

Passo 2

Entender como as operações de linhas afetam o determinante (explicação didática e necessária):
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. Raciocínio curto: o determinante é linear em cada linha; se uma linha é multiplicada por k, todo o determinante sai multiplicado por k.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Raciocínio curto: pela linearidade com respeito a uma linha, o termo extra é uma combinação que cancela ao comparar expansão multilinear — na prática é uma operação elementar “inócua” para o determinante.
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por -1). Raciocínio curto: trocar duas linhas inverte a orientação da base associada ao determinante.
Agora aplico isso, passo a passo, às operações que transformam A em B:
  • A operação L_{1}\rightarrow -\dfrac{1}{3}L_{1} multiplica \det A por -\dfrac{1}{3}.
  • A operação L_{3}\rightarrow L_{3}+\dfrac{1}{2}L_{2} não altera o determinante (fator 1).
  • A troca L_{3}\leftrightarrow L_{4} multiplica por -1.
  • A operação L_{5}\rightarrow -4L_{5} multiplica por -4.
Multiplicando os efeitos na ordem dada, o fator total que relaciona \det B a \det A é
\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-4).
Calculo esse produto com calma:
\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot (-1)=\frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{3}\cdot (-4)=-\frac{4}{3}.
Logo
\det B = -\frac{4}{3}\det A.
Como \det B = 8, resolvo para \det A:
\det A = \frac{\det B}{-4/3}=8\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=-6.

Passo 3

Manipular a equação matricial para isolar D. Começo da igualdade dada:
\left(DB^{-1}\right)^{t}+\frac{1}{2}A^{2}=0.
Subtraindo \tfrac{1}{2}A^{2} e isolando o termo transposto:
\left(DB^{-1}\right)^{t} = -\frac{1}{2}A^{2}.
Faço a transposição de ambos os lados (lembrando que (X^{t})^{t}=X):
DB^{-1} = \left(-\frac{1}{2}A^{2}\right)^{t} = -\frac{1}{2}\,(A^{2})^{t}.
Explico uma propriedade usada aqui: para quaisquer matrizes compatíveis, (XY)^{t}=Y^{t}X^{t}. Aplicando isso em A^{2}=A\cdot A obtém-se (A^{2})^{t}=A^{t}A^{t}=(A^{t})^{2}. Assim
DB^{-1} = -\frac{1}{2}(A^{t})^{2}.
Multiplico à direita por B (válido porque B é invertível já que \det B\neq 0):
D = -\frac{1}{2}(A^{t})^{2}B.

Passo 4

Agora passo para determinantes. Usarei as propriedades:
  • \det(XY)=\det X\cdot\det Y.
  • \det(X^{t})=\det X.
  • Se X é n\times n e k é escalar, então \det(kX)=k^{n}\det X.
Como A e B são de ordem 5, ao tirar determinante em ambos os lados de
D = -\frac{1}{2}(A^{t})^{2}B
obtenho
\det D = \det\!\left(-\frac{1}{2} I_{5}\right)\cdot \det\!\big((A^{t})^{2}\big)\cdot \det B.
Aqui \det\!\left(-\dfrac{1}{2} I_{5}\right)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5} porque é escalar vezes identidade em dimensão 5. Também \det\big((A^{t})^{2}\big)=(\det A^{t})^{2}=(\det A)^{2}. Portanto
\det D = \left(-\frac{1}{2}\right)^{5}\cdot (\det A)^{2}\cdot \det B.
Substituo os valores que já tenho: \det A=-6 e \det B=8. Calculemos com calma:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{5} = -\frac{1}{32}, \qquad (\det A)^{2}=(-6)^{2}=36.
Logo
\det D = -\frac{1}{32}\cdot 36\cdot 8.
Faço a multiplicação passo a passo:
36\cdot 8 = 288, \qquad -\frac{1}{32}\cdot 288 = -\frac{288}{32} = -9.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: os sinais e potências estão consistentes com as operações (duas operações de escala com sinais negativos e uma troca deram o fator -4/3 entre \det B e \det A); a dimensão 5 determina o expoente na potência do escalar -\tfrac{1}{2}. O cálculo numérico final dá um inteiro pequeno e plausível: -9.

Resposta

-9

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