Suponhamos que
é uma matriz de ordem
a matriz obtida de
através das seguintes operações elementares sobre as linhas de
(nessa ordem)
tal que
e
uma matriz quadrada satisfazendo a condição que
.
Calcule:
.
Calcule:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo tirado do enunciado):
-
é uma matriz quadrada de ordem . -
é obtida a partir de por operações elementares sobre as linhas, na seguinte ordem: -
. -
. -
(troca das linhas 3 e 4). -
.
-
- Foi dado que
. -
é uma matriz quadrada (logo também de ordem ) que satisfaz - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Entender como as operações de linhas afetam o determinante (explicação didática e necessária):
- Multiplicar uma linha por um escalar
multiplica o determinante por . Raciocínio curto: o determinante é linear em cada linha; se uma linha é multiplicada por , todo o determinante sai multiplicado por . - Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Raciocínio curto: pela linearidade com respeito a uma linha, o termo extra é uma combinação que cancela ao comparar expansão multilinear — na prática é uma operação elementar “inócua” para o determinante.
- Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por
). Raciocínio curto: trocar duas linhas inverte a orientação da base associada ao determinante.
Agora aplico isso, passo a passo, às operações que transformam
em
:
- A operação
multiplica por . - A operação
não altera o determinante (fator ). - A troca
multiplica por . - A operação
multiplica por .
Multiplicando os efeitos na ordem dada, o fator total que relaciona
a
é
Calculo esse produto com calma:
Logo
Como
, resolvo para
:
Passo 3
Manipular a equação matricial para isolar
. Começo da igualdade dada:
Subtraindo
e isolando o termo transposto:
Faço a transposição de ambos os lados (lembrando que
):
Explico uma propriedade usada aqui: para quaisquer matrizes compatíveis,
. Aplicando isso em
obtém-se
. Assim
Multiplico à direita por
(válido porque
é invertível já que
):
Passo 4
Agora passo para determinantes. Usarei as propriedades:
-
. -
. - Se
é e é escalar, então .
Como
e
são de ordem
, ao tirar determinante em ambos os lados de
obtenho
Aqui
porque é escalar vezes identidade em dimensão
. Também
. Portanto
Substituo os valores que já tenho:
e
. Calculemos com calma:
Logo
Faço a multiplicação passo a passo:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: os sinais e potências estão consistentes com as operações (duas operações de escala com sinais negativos e uma troca deram o fator
entre
e
); a dimensão
determina o expoente na potência do escalar
. O cálculo numérico final dá um inteiro pequeno e plausível:
.