(a) (8 pts) Para que valores de \boldsymbol{\alpha} e \boldsymbol{\beta} o sistema (1) é possível e indeterminado? Justifique, pelo Teorema do Posto.
(b) (8 pts) Para que valores de \boldsymbol{\alpha} e \boldsymbol{\beta} o sistema (1) é impossível? Justifique, pelo Teorema do Posto.
(c) (9 pts) Usando \boldsymbol{\alpha}=3 e \boldsymbol{\beta}=5, resolva o sistema (1) utilizando a fatoração \boldsymbol{L} \boldsymbol{U}.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todas as informações do próprio enunciado).
Sistema nas variáveis x,y,z,w:
\left\{\begin{array}{rcl} x+2y+\alpha z-w &=& 1,\\[4pt] -\alpha x-2\alpha y - z + (2+\alpha)w &=& 2-\alpha,\\[4pt] -x-2y-\alpha z +\alpha w &=& \beta. \end{array}\right.
Parâmetros: \alpha e \beta são números reais desconhecidos.
Perguntas:
(a) Para que valores de \alpha e \beta o sistema é possível e indeterminado?
(b) Para que valores de \alpha e \beta o sistema é impossível?
(c) Tomando \alpha=3 e \beta=5, resolver o sistema usando fatoração L U.
Observações úteis que vamos usar depois (não estou resolvendo ainda):
Montarei a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A\mid b].
Aplicarei o Teorema do Posto: o sistema é consistente se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]). Se consistente e \operatorname{rank}(A)< número de incógnitas (aqui 4), então há infinitas soluções (indeterminado). Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) então é impossível.]
Passo 2
Escrevo a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna dos termos independentes b.
Comentário didático rápido sobre posto: para uma matriz com 3 linhas, o posto (rank) máximo é 3. Se encontrarmos algum menor 3\times3 (ou seja, escolher 3 colunas e formar uma matriz 3\times3) com determinante não nulo, então \operatorname{rank}(A)=3. Caso todos os menores 3\times3 sejam nulos, o posto é menor que 3 (ou seja 2 ou 1 ou 0). Vou calcular um menor 3\times3 conveniente e ver quando ele é zero ou não.]
Passo 3
Calculo o determinante do menor formado pelas colunas 1,3,4 de A. Essa escolha evita alguns termos repetitivos e dá uma expressão simples.
Calculo o determinante \det M(\alpha). Fazendo a expansão (desenvolvimento por primeira linha, por exemplo), chega-se a
\det M(\alpha)=(\alpha-1)^2(\alpha+1).
(Desenvolvimento detalhado: ao expandir e fatorar os termos obtém-se a fatoração acima; é útil perceber que o resultado fatorado facilita identificar os valores de \alpha que anulam o determinante.)
Conclusão deste passo:
Se \alpha\neq 1 e \alpha\neq -1 então \det M(\alpha)\neq 0, portanto \operatorname{rank}(A)=3.
Se \alpha=1 ou \alpha=-1 então \det M(\alpha)=0, então o posto de A é menor que 3 (vou estudar cada caso separadamente).]
Passo 4
Caso geral: \alpha\neq \pm1.
Temos \operatorname{rank}(A)=3 (pela determinação do menor não nulo).
A matriz aumentada [A\mid b] tem também no máximo posto 3 (porque só tem 3 linhas). Portanto \operatorname{rank}([A\mid b])\le 3.
Logo \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=3, ou seja o sistema é consistente.
Como o número de incógnitas é 4 e \operatorname{rank}(A)=3<4, o sistema tem infinitas soluções (é indeterminado) — haverá exatamente 4-3=1 parâmetro livre.
Portanto, para todo \alpha\neq 1 e \alpha\neq -1, o sistema é possível e indeterminado, independentemente de \beta.
Passo 5
Agora estudar separadamente os casos críticos \alpha=1 e \alpha=-1, porque então \operatorname{rank}(A)\le 2 e pode haver inconsistência dependendo de \beta.
Observação de dependência linear entre as linhas: a 1ª linha r_1 e a 3ª linha r_3 satisfazemr_1 + r_3 = 0 \quad\text{(vetor zero)},porque r_3 = -r_1 salvo pelo quarto elemento? checando: r_1=(1,2,1,-1), r_3=(-1,-2,-1,1)=-r_1. Logo r_1 + r_3 =0.
Pela relação linear entre as linhas dos coeficientes, para que o sistema seja consistente precisamos a mesma relação nos termos independentes:b_1 + b_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 + \beta = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = -1.
Conclusões:
Se \alpha=1 e \beta=-1, então a dependência entre linhas se repete também na parte direita, logo \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=2 e o sistema é possível e indeterminado (há 4-2=2 graus de liberdade).
Se \alpha=1 e \beta\neq -1, então \operatorname{rank}([A\mid b])=3 enquanto \operatorname{rank}(A)=2, portanto o sistema é impossível.]
Verifico dependências: observa-se que a 2ª linha r_2 e a 3ª linha r_3 satisfazemr_2 + r_3 = 0 \quad\text{(pois \(r_3=-r_2\))},porque r_2=(1,2,-1,1) e r_3=(-1,-2,1,-1)=-r_2.
Para a consistência, a mesma relação deve valer nos termos independentes:b_2 + b_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3 + \beta = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = -3.
Conclusões:
Se \alpha=-1 e \beta=-3 então \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=2 e o sistema é possível e indeterminado (há 4-2=2 graus de liberdade).
Se \alpha=-1 e \beta\neq -3 então o sistema é impossível.]
Passo 7
Resumo (interpretação do Teorema do Posto aplicada a todos os casos) — já justificado pelos passos anteriores:
Para \alpha\neq\pm1: \operatorname{rank}(A)=3 e o sistema é sempre possível e indeterminado (infinitas soluções).
Para \alpha=1: \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é possível e indeterminado somente se \beta=-1; é impossível se \beta\neq -1.
Para \alpha=-1: \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é possível e indeterminado somente se \beta=-3; é impossível se \beta\neq -3.
Esses respondem (a) e (b). A seguir faço (c).
Passo 8
Parte (c): resolvendo para \alpha=3 e \beta=5 usando fatoração L U.
Primeiro escrevo o sistema com \alpha=3 e \beta=5:
Como já se sabe do item anterior, para \alpha=3 o posto de A é 3, então o sistema é consistente e indeterminado (tem um parâmetro livre). Para aplicar LU com conforto escolho uma variável livre e resolvo para as outras três com uma matriz 3\times3 invertível. Vou escolher y como parâmetro livre (escrevo y=s, com s\in\mathbb{R}). Assim tratamos y como conhecido e resolvemos um sistema 3\times3 nas incógnitas x,z,w.
Reescrevendo com y=s e isolando as colunas das incógnitas x,z,w:
com s\in\mathbb{R} (um parâmetro livre). Podemos também escrever tomando y como parâmetro t se preferir: x=\dfrac{11}{2}-2t,\\ y=t,\\ z=-\dfrac{1}{2},\\ w=3.
Verificação rápida: substituindo esses valores nas três equações obtêm-se identidades válidas (confere com os termos independentes).
Resposta
(a) O sistema é possível e indeterminado para todos os \alpha\neq 1 e \alpha\neq -1 (qualquer \beta). Além disso é possível e indeterminado para \alpha=1,\\ \beta=-1 e para \alpha=-1,\\ \beta=-3.
(b) O sistema é impossível somente nos casos \alpha=1,\\ \beta\neq -1 e \alpha=-1,\\ \beta\neq -3.
(c) Para \alpha=3,\\ \beta=5 a solução geral (com y parâmetro livre s) é