34 Uma rampa reta e plana, de 8 m de comprimento, une dois pisos de uma garagem e forma um ângulo obtuso de medida a com o piso plano e horizontal inferior tal que \cos \alpha=-\frac{5}{8}. Calcule a altura do piso superior em relação ao inferior.

Passo 1

O enunciado diz que uma rampa de comprimento 8\:\text{m} faz um ângulo obtuso \alpha com o piso horizontal, em que \cos\alpha=-\tfrac{5}{8}. Precisamos achar a altura vertical entre os pisos, que é justamente o componente vertical (cateto oposto) de um segmento de módulo 8 usando trigonometria.

Passo 2

Usamos a relação pitagórica do círculo trigonométrico:
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.
Substituindo \cos\alpha=-\tfrac{5}{8} temos
\sin^2\alpha = 1 - \Bigl(-\tfrac{5}{8}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{25}{64} = \tfrac{39}{64}.
Como \alpha é obtuso, \sin\alpha>0, logo
\sin\alpha = \frac{\sqrt{39}}{8}.

Passo 3

A altura h é o cateto oposto ao ângulo, dado por
h = 8\;\sin\alpha = 8 \cdot \frac{\sqrt{39}}{8} = \sqrt{39}.

Resposta

A altura do piso superior em relação ao inferior é \sqrt{39} metros.

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