Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçāo geral é defínida.
\(x+2^{2} \frac{d y}{d x}=5-8 y-4 x y)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(x+2)^{2}\,\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy
Este é um caso de equação linear de 1ª ordem na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Vamos reescrevê-la nesse padrão e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por (x+2)^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{8+4x}{(x+2)^{2}}\,y = \frac{5}{(x+2)^{2}}.
Note que
8+4x = 4(x+2),
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P(x)=\frac{4}{x+2}, \quad Q(x)=\frac{5}{(x+2)^{2}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{4}{x+2}\,dx\Bigr) =(x+2)^{4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x):
(x+2)^{4}\frac{dy}{dx} + (x+2)^{4}\frac{4}{x+2}\,y =\frac{5\,(x+2)^{4}}{(x+2)^{2}}.
O lado esquerdo é a derivada de (x+2)^{4}y, e o direito simplifica para 5(x+2)^{2}. Assim,
\frac{d}{dx}\bigl[(x+2)^{4}y\bigr]=5(x+2)^{2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
(x+2)^{4}y = \int 5(x+2)^{2}\,dx =5\cdot\frac{(x+2)^{3}}{3} + C =\frac{5}{3}(x+2)^{3}+C.
Logo a solução geral é
y(x)=\frac{\tfrac{5}{3}(x+2)^{3}+C}{(x+2)^{4}} =\frac{5}{3(x+2)}+\frac{C}{(x+2)^{4}}.

Passo 6

A solução não está definida em x=-2 (divisão por zero). Portanto, um intervalo de definição típico é
(-\infty,-2)\quad\text{ou}\quad(-2,\infty).

Resposta

y(x)=\frac{5}{3(x+2)}+\frac{C}{(x+2)^{4}},\quad x\neq -2,
definida em qualquer intervalo que não contenha x=-2 (por exemplo, (-\infty,-2) ou ( -2,\infty)).

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