\int \operatorname{tg}^{-1} y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan^{-1}(y)\,dy
Isso cai em Integração por Partes, cujos ingredientes são a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e a escolha adequada de u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \tan^{-1}(y), \quad dv = dy.
Então
du = \frac{1}{1+y^2}\,dy, \quad v = y.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes,
\int \tan^{-1}(y)\,dy = u\,v - \int v\,du = y\,\tan^{-1}(y) - \int y\cdot\frac{1}{1+y^2}\,dy.

Passo 4

Falta calcular
\int \frac{y}{1+y^2}\,dy.
Basta notar que 1+y^2 tem derivada 2y, logo por substituição ou reconhecimento direto,
\int \frac{y}{1+y^2}\,dy = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+y^2\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta e incluindo a constante de integração C,
\int \tan^{-1}(y)\,dy = y\,\tan^{-1}(y) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+y^2\bigr) + C.

Resposta

y\,\tan^{-1}(y) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+y^2\bigr) + C

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