34 Em um recipiente com área da base de 2 \mathrm{~m}^{2}, há inicialmente apenas água. Se um bloco de madeira de 800 kg for introduzido nesse recipiente, o nível da água sobe 50 \% da altura inicial, determine a quantidade de água no início do experimento.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a quantidade de água que havia no início do experimento. Dados fornecidos:
A = 2\\ \mathrm{m}^2 (área da base do recipiente), inicialmente só há água;
um bloco de madeira com massa m = 800\\ \mathrm{kg} é colocado no recipiente;
ao colocar o bloco, o nível da água sobe 50\% da altura inicial (ou seja, a altura final é 1,5 vezes a inicial).
A incógnita que vamos encontrar é o volume inicial de água (quantidade de água), que chamarei de V_0.

Passo 2

Definimos variáveis e relações geométricas simples:
seja h_i a altura inicial da coluna de água; então o volume inicial de água é
V_0 = A h_i.
Como o nível sobe 50\% da altura inicial, a altura final é h_f = 1{,}5\,h_i. O aumento absoluto de altura é
\Delta h = h_f - h_i = 0{,}5\,h_i.
Agora vamos entender o que acontece com os volumes quando o bloco é colocado.

Passo 3

Raciocínio sobre volumes: a água não é retirada nem adicionada, seu volume permanece V_0. Ao introduzir o bloco, a parte do bloco que fica abaixo da superfície (volume submerso) ocupa espaço no recipiente e faz a superfície subir. O volume que foi “ocupado” pelo bloco abaixo da superfície é exatamente o aumento de volume que aparece sob a superfície livre, isto é,
V_{\text{sub}} = A\,(h_f - h_i) = A\,\Delta h.
Explicando com calma: antes havia volume sob a superfície igual a A h_i; depois passa a ser A h_f. A diferença A(h_f-h_i) é o volume adicional abaixo da superfície — esse volume é justamente o volume submerso do bloco.

Passo 4

Princípio de Arquimedes (explicado de forma simples): um corpo flutuante desloca um volume de fluido cujo peso é igual ao peso do corpo. Em termos de massa e densidade, isso diz que a massa de água deslocada é igual à massa do bloco; ou seja,
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}} = m,á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade da água. Aqui usamos o valor padrão
\rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á.
Também já temos a relação entre V_{\text{sub}} e V_0: como V_{\text{sub}} = A\Delta h e \Delta h = 0{,}5\,h_i, temos
V_{\text{sub}} = A(0{,}5\,h_i) = 0{,}5\,(A h_i) = 0{,}5\,V_0.
Portanto, substituindo em Arquimedes:
\rho_{\text{água}}\,(0{,}5\,V_0) = m.á

Passo 5

Agora isolamos V_0 e calculamos:
0{,}5\,\rho_{\text{água}}\,V_0 = m \quad\Longrightarrow\quad V_0 = \frac{2m}{\rho_{\text{água}}}.áá
Substituindo os valores numéricos m = 800\\ \mathrm{kg} e \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á,
V_0 = \frac{2\cdot 800}{1000} = 1{,}6\\ \mathrm{m}^3.
Se quiseres pensar em litros, isso é 1600 litros — só para ter uma intuição maior do que significa 1{,}6\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

1{,}6\\ \mathrm{m}^3

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