34 Em um recipiente com área da base de
, há inicialmente apenas água. Se um bloco de madeira de 800 kg for introduzido nesse recipiente, o nível da água sobe
da altura inicial, determine a quantidade de água no início do experimento.
Passo 1
O enunciado pede que se determine a quantidade de água que havia no início do experimento. Dados fornecidos:
(área da base do recipiente), inicialmente só há água;
um bloco de madeira com massa é colocado no recipiente;
ao colocar o bloco, o nível da água sobe da altura inicial (ou seja, a altura final é
vezes a inicial).
A incógnita que vamos encontrar é o volume inicial de água (quantidade de água), que chamarei de .
um bloco de madeira com massa
ao colocar o bloco, o nível da água sobe
A incógnita que vamos encontrar é o volume inicial de água (quantidade de água), que chamarei de
Passo 2
Definimos variáveis e relações geométricas simples:
seja a altura inicial da coluna de água; então o volume inicial de água é
seja
Como o nível sobe
da altura inicial, a altura final é
. O aumento absoluto de altura é
Agora vamos entender o que acontece com os volumes quando o bloco é colocado.
Passo 3
Raciocínio sobre volumes: a água não é retirada nem adicionada, seu volume permanece
. Ao introduzir o bloco, a parte do bloco que fica abaixo da superfície (volume submerso) ocupa espaço no recipiente e faz a superfície subir. O volume que foi “ocupado” pelo bloco abaixo da superfície é exatamente o aumento de volume que aparece sob a superfície livre, isto é,
Explicando com calma: antes havia volume sob a superfície igual a
; depois passa a ser
. A diferença
é o volume adicional abaixo da superfície — esse volume é justamente o volume submerso do bloco.
Passo 4
Princípio de Arquimedes (explicado de forma simples): um corpo flutuante desloca um volume de fluido cujo peso é igual ao peso do corpo. Em termos de massa e densidade, isso diz que a massa de água deslocada é igual à massa do bloco; ou seja,
onde
é a densidade da água. Aqui usamos o valor padrão
.
Também já temos a relação entre e
: como
e
, temos
Também já temos a relação entre
Portanto, substituindo em Arquimedes:
Passo 5
Agora isolamos
e calculamos:
Substituindo os valores numéricos
e
,
Se quiseres pensar em litros, isso é
litros — só para ter uma intuição maior do que significa
.