Q 34 Resolva as integrais das funções racionais.
integral x^2-2 x+3(x^2+1)(x^2-2 x+1) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2-2x+3(x^2+1),(x^2-2x+1),dx
Note que x^2-2x+1=(x-1)^2. O conteúdo aqui é frações parciais para funções racionais, seguido da integração termo a termo usando fórmulas conhecidas de logaritmo, arco-tangente e potências.

Passo 2

Fatoramos o denominador e propomos a decomposição em frações parciais:
x^2-2x+3(x^2+1)(x-1)^2 =Ax+Bx^2+1+Cx-1+D(x-1)^2
Multiplicamos ambos os lados por (x^2+1)(x-1)^2 e obtemos
x^2-2x+3=(Ax+B)(x-1)^2+C(x^2+1)(x-1)+D(x^2+1)

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema
A+C=0, (-2A+B)-C+D=1, (A-2B)+C=-2, B-C+D=3
Resolvendo, achamos
A=1, B=1, C=-1, D=1

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integrall(x+1x^2+1-1x-1+1(x-1)^2r)dx
Integramos termo a termo:
  1. integralxx^2+1dx=tfrac12ln(x^2+1).
  2. integral1x^2+1dx=arctan(x).
  3. integral-1x-1dx=-lnlvert x-1rvert.
  4. integral1(x-1)^2dx=-1x-1.

Resposta

12ln(x^2+1)+arctan(x)-lnlvert x-1rvert-1x-1+C

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