Resolva:
Passo 1
Estamos diante da equação diferencial de primeira ordem
Esse tipo de ODE é da forma de Bernoulli, que tem a estrutura
Para resolver, vamos reduzir a um caso linear por meio da substituição habitual.
Passo 2
Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo tudo por
:
Comparando com
vemos que
Passo 3
Na Bernoulli usamos a substituição
Calculamos
ou seja
Passo 4
Multiplicando a forma padrão por
obtemos
Substituindo em termos de
dá
Multiplicando por
resulta na equação linear
Com
P(x) e
Q(x) conhecidos isso é
Passo 5
Para resolver a linear, achamos o fator integrante
Fazendo a decomposição em frações parciais e integrando chega-se a
e portanto
Passo 6
Multiplicamos a equação em
u por
mu(x) e integramos:
Integrando em
x :
com
C constante arbitrária. Voltando a
u :
Passo 7
Lembrando
u = y^-3/2 , temos
Elevando à potência
2/3 , a solução geral é
onde
C é a constante de integração.
Resposta
com
C constante arbitrária.