Resolva:
(1-x^3) d yd x-2(1+x) y=y^52

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial de primeira ordem
(1 - x^3)dydx ;-; 2(1 + x),y ;=; y^5/2
Esse tipo de ODE é da forma de Bernoulli, que tem a estrutura
dydx + P(x),y = Q(x),y^n
Para resolver, vamos reduzir a um caso linear por meio da substituição habitual.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo tudo por (1 - x^3):
dydx ;-;2(1 + x)1 - x^3,y ;=;11 - x^3,y^5/2
Comparando com
dydx + P(x),y = Q(x),y^n,
vemos que
P(x) = -2(1 + x)1 - x^3, Q(x) = 11 - x^3, n = 52

Passo 3

Na Bernoulli usamos a substituição
u = y^,1 - n = y^-3/2
Calculamos
dudx = -tfrac32,y^-5/2,dydx,
ou seja
y^-5/2,dydx = -tfrac23,dudx

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por y^-5/2 obtemos
y^-5/2dydx + P(x),y^-3/2 = Q(x)
Substituindo em termos de u
-tfrac23dudx + P(x),u = Q(x)
Multiplicando por -tfrac32 resulta na equação linear
dudx + underbracel[-tfrac32P(x)r]=;widetilde P(x),u =;-tfrac32,Q(x)
Com P(x) e Q(x) conhecidos isso é
dudx + 3(1 + x)1 - x^3,u = -32,(1 - x^3)

Passo 5

Para resolver a linear, achamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(!integral 3(1 + x)1 - x^3,dxr)
Fazendo a decomposição em frações parciais e integrando chega-se a
integral 3(1 + x)1 - x^3,dx = -2ln|1 - x| + lnl(1 + x + x^2r)
e portanto
mu(x)=1 + x + x^2(1 - x)^2

Passo 6

Multiplicamos a equação em u por mu(x) e integramos:
ddxl(mu,ur) = mu(x),l[-tfrac32(1 - x^3)r] = -tfrac32,1(1 - x)^3
Integrando em x:
mu(x),u = -32integraldx(1 - x)^3 = -34(1 - x)^2 + C,
com C constante arbitrária. Voltando a u:
u = y^-3/2 1 = -tfrac34(1 - x)^2 + C mu(x) = C(1 - x)^2 - tfrac341 + x + x^2

Passo 7

Lembrando u = y^-3/2, temos
y^-3/2 = C(1 - x)^2 - tfrac341 + x + x^2 Longrightarrow y^3/2 = 1 + x + x^2C(1 - x)^2 - tfrac34
Elevando à potência 2/3, a solução geral é
y(x) = [1 + x + x^2 ,C(1 - x)^2 - tfrac34,]^!2/3,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = [1 + x + x^2 C,(1 - x)^2 ;-;tfrac34]^!2/3,
com C constante arbitrária.

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