Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(c) 5+log 2 n <= n

Passo 1

O enunciado pede para achar o menor inteiro positivo n0 tal que
5 + log2n ;<=; n
para todo n>= n0, e em seguida provar por indução (estendida) que a sentença vale para todo inteiro n>= n0.

Passo 2

Vamos testar valores de n a partir de 1:
- n=1colon 5+log21 =5+0=5>1 (não vale)
- n=2colon 5+log22 =5+1=6>2 (não vale)
- n=3colon 5+log23 approx 5+1,585=6,585>3 (não vale)
···
- n=7colon 5+log27approx 5+2,807=7,807>7 (não vale)
- n=8colon 5+log28 =5+3=8checkmark
Portanto o primeiro inteiro que satisfaz é n0=8.

Passo 3

Base da indução: para n=8 temos
5 + log28 =5+3=8,
logo a desigualdade vale em n=8.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para algum k>=8 valha
5 + log2k ;<=; k
Defina f(n)=n-log2n. Então
f(k+1)-f(k) = l((k+1)-log2(k+1)r);-;l(k-log2kr) =1 - l(log2(k+1)-log2kr) =1 - log2!l(1+tfrac1kr)
Como k>=8 implica 1+tfrac1k<=2, temos log2(1+1/k)<=1. Logo
f(k+1)-f(k);>=;1-1=0 Longrightarrow f(k+1)>= f(k)>=5
Isto é,
(k+1) - log2(k+1);>=;5 Longrightarrow 5 + log2(k+1);<=;k+1,
portanto a propriedade se mantém em k+1.

Resposta

O menor inteiro positivo que funciona é n0=8, e por indução acabamos de provar que
5 + log2n ;<=; n para todo inteiro n>=8

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