Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para achar o menor inteiro positivo
tal que
para todo
, e em seguida provar por indução (estendida) que a sentença vale para todo inteiro
.
Passo 2
Vamos testar valores de
a partir de
:
- (não vale)
- (não vale)
- (não vale)
···
- (não vale)
-
Portanto o primeiro inteiro que satisfaz é .
-
-
-
···
-
-
Portanto o primeiro inteiro que satisfaz é
Passo 3
Base da indução: para
temos
logo a desigualdade vale em
.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Defina
. Então
Como
implica
, temos
. Logo
Isto é,
portanto a propriedade se mantém em
.
Resposta
O menor inteiro positivo que funciona é
, e por indução acabamos de provar que