34{ }^{\text {a }} Questão

Um cilindro com volume de 0,01 \mathrm{~m}^{3} contém 2 mols de um gás ideal diatômico inicialmente sujeito a uma pressão de 5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. O gás sofre uma expansão isotérmica reversível até dobrar seu volume. O módulo do trabalho realizado vale:
(A) 2 \ln 2 \mathrm{~kJ}
(B) 5 kJ
(C) 5 \ln 2 \mathrm{~kJ}
(D) 10 kJ
(E) 10 \ln 2 \mathrm{~kJ}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • n=2 mol (quantidade de substância).
    • Volume inicial V_i=0,01\\ \mathrm{m}^3.
    • Pressão inicial P_i=5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • O gás sofre expansão isotérmica reversível até dobrar o volume, então V_f=2V_i.
  • O enunciado pede: o módulo do trabalho realizado pelo gás durante essa expansão isotérmica reversível.

Passo 2

Conceitos essenciais (em linguagem simples):
  • Trabalho realizado por um gás em um processo quasi-estático (reversível) é W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV,onde P é a pressão do gás durante o processo.
  • Em um processo isotérmico para um gás ideal a temperatura T é constante, e vale a equação de estado P V = n R T,com R constante universal dos gases perfeitos ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
  • Substituindo P=\dfrac{nRT}{V} na integral do trabalho, obtemos a fórmula padrão para trabalho em isotérmico reversível: W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).Aqui \ln é o logaritmo natural.
Explicando um pouco mais: a integral de 1/V é \ln V, por isso surge o \ln(V_f/V_i). Como o processo é reversível, a pressão externa acompanha a pressão do gás, então essa fórmula é válida.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Temos V_f/V_i=2. Logo
W = n R T \ln 2.
Não é necessário calcular T explicitamente: da equação de estado no estado inicial segue nRT = P_i V_i. Assim podemos escrever
W = P_i V_i \ln 2.

Passo 4

Calcular numericamente P_i V_i:
P_i V_i = \left(5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\right)\cdot\left(0,01\\ \mathrm{m}^3\right) =5\times10^{3}\\ \mathrm{J}=5000\\ \mathrm{J}.
Portanto
W = 5000\ln 2\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Expressão em kJ e aproximação numérica:
W = 5000\ln 2\\ \mathrm{J} = 5\ln 2\\ \mathrm{kJ}.
Se quiser um valor numérico aproximado, \ln 2\approx0,693, então
W \approx 5000\times0,693 \\ \mathrm{J}\approx 3465\\ \mathrm{J}\approx3{,}465\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Interpretação final rápida e incentivo: o módulo do trabalho realizado pelo gás na expansão isotérmica reversível que dobra o volume é 5\ln 2\\ \mathrm{kJ}. Boa! Esse tipo de exercício costuma cair bastante — decorando a fórmula W=nRT\ln(V_f/V_i) e lembrando que nRT=P_iV_i você resolve em dois passos na prova.

Resposta

(C) 5\ln 2\\ \mathrm{kJ}

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