39{ }^{\text {a }} Questão

Um circuito é composto pelo arranjo em série de uma fonte de tensão alternada, cujo potencial vale \mathrm{V}(\mathrm{t})=100 \cos \left(200 \mathrm{t}+45^{\circ}\right) \mathrm{V}, um resistor com 10 \Omega de resistência e um indutor com 50 mH de indutância. A potência média dissipada pelo resistor vale:
(A) 100 W
(B) 150 W
(C) 200 W
(D) 250 W
(E) 300 W

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro dos dados do problema):
  • Tensão aplicada: V(t)=100\cos\bigl(200t+45^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
    • Desta expressão pega-se o valor de pico da tensão: V_{\text{p}}=100\\ \mathrm{V}.
    • E a pulsação: \omega=200\\ \mathrm{rad/s} (pois o termo em t é 200t).
  • Resistência do resistor: R=10\\ \Omega.
  • Indutância do indutor: L=50\\ \mathrm{mH}=50\times10^{-3}\\ \mathrm{H}=0{,}05\\ \mathrm{H}.
  • O que é pedido: a potência média (potência real média dissipada) pelo resistor (em watts), ou seja, a potência que vira calor no resistor no regime senoidal estacionário.

Passo 2

Primeiros conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando o que cada variável significa):
  • Para sinais senoidais de amplitude pico V_{\text{p}}, a tensão eficaz (RMS) é
V_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{p}}}{\sqrt{2}}.
Aqui V_{\text{p}} é o pico da tensão e V_{\text{rms}} é o valor eficaz que usamos para calcular potências.
  • A impedância do circuito série resistor+indutor é
Z=R+jX_L,
onde X_L=\omega L é a reatância indutiva (medida em ohms) e j é a unidade imaginária. O módulo da impedância é |Z|=\sqrt{R^2+X_L^2}.
  • A corrente eficaz no circuito é
I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{|Z|}.
  • A potência média dissipada no resistor é a potência real:
P=I_{\text{rms}}^2\,R.
(Explicação: a potência instantânea no resistor é p(t)=i^2(t)R; sua média no ciclo é I_{\text{rms}}^2R.)

Passo 3

Calcular V_{\text{rms}}, X_L e montar Z:
  • Primeiro V_{\text{rms}}:
V_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{p}}}{\sqrt{2}}=\frac{100}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
  • Calcular a reatância indutiva X_L:
X_L=\omega L=200\cdot 0{,}05=10\\ \Omega.
  • Logo a impedância é
Z=R+jX_L=10+j\,10\\ \Omega.

Passo 4

Calcular o módulo da impedância |Z| e a corrente eficaz I_{\text{rms}}:
  • Módulo da impedância:
|Z|=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\ \Omega.
  • Corrente eficaz:
I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{|Z|}=\frac{50\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}=5\\ \mathrm{A}.
(Nota: dá para conferir também via picos: corrente de pico I_{\text{p}}=V_{\text{p}}/|Z|=100/(10\sqrt{2})=5\sqrt{2}\\ \mathrm{A}, e I_{\text{rms}}=I_{\text{p}}/\sqrt{2}=5\\ \mathrm{A}.)

Passo 5

Calcular a potência média dissipada no resistor usando P=I_{\text{rms}}^2R:
P=I_{\text{rms}}^2\,R=(5)^2\cdot 10=25\cdot 10=250\\ \mathrm{W}.
Explicação rápida de interpretação: apesar da presença do indutor (que armazena e devolve energia), somente o resistor dissipa potência convertendo energia elétrica em calor; por isso usamos I_{\text{rms}}^2R.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia) usando fator de potência:
  • O ângulo de fase entre V e I é \varphi=\arctan\!\bigl(\dfrac{X_L}{R}\bigr)=\arctan(1)=45^\circ.
  • Potência também pode ser escrita como
P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi.
Usando V_{\text{rms}}=50\sqrt{2}\\ \mathrm{V}, I_{\text{rms}}=5\\ \mathrm{A} e \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
P=50\sqrt{2}\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=50\cdot 5 \cdot\frac{2}{2}=250\\ \mathrm{W},
confirmação consistente com o passo anterior.

Resposta

(D) 250\\ \mathrm{W}

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