Considere um bastão fino de comprimento L e com carga
disposto sobre o eixo x. Calcule o potencial elétrico criado por ele a uma distância x do centro do bastão em um ponto do eixo x. A partir deste resultado, obtenha uma expressão para o campo elétrico neste ponto.
Passo 1
O enunciado dá um bastão fino, de comprimento
, com carga total
disposta ao longo do eixo
, com o centro do bastão na origem. Pede-se:
- Calcular o potencial elétrico no ponto do eixo
que está a uma distância do centro do bastão. - A partir desse potencial, obter uma expressão para o campo elétrico naquele ponto.
Informações e escolhas/observações iniciais:
- A densidade linear de carga é
. - Vou escolher a referência
(potencial zero no infinito), que é a escolha usual. - Como o bastão é considerado infinitesimalmente fino (linha de carga), se o ponto pedido estiver exatamente sobre o bastão (isto é, se
) o potencial diverge (infinitude) porque existe um elemento de carga arbitrariamente próximo; portanto a expressão finita a seguir é válida para pontos fora do bastão, isto é, para . Vou então resolver para o caso .
Passo 2
Conceito necessário (explicação curta e prática): o potencial elétrico produzido por uma distribuição contínua de carga é a soma (integral) das contribuições
de cada elemento de carga
, onde
é a distância entre o elemento e o ponto onde calculamos o potencial. Para uma linha de carga com densidade linear
sobre a coordenada
, e ponto de observação em
sobre o mesmo eixo, isso vira uma integral unidimensional:
Aqui
é a permissividade do vácuo, e
percorre o bastão (de
a
). A variável
é a posição do ponto de observação sobre o eixo (distância do centro).
Passo 3
Montagem da integral para o nosso bastão centrado na origem e ponto de observação com
. Usando
e o bastão entre
e
, temos:
Para
o denominador
tem sinal constante (se
, então
para todo
; se
, então
para todo
mas o valor absoluto elimina o sinal). Portanto podemos escrever, sem o valor absoluto (tratando o caso
como exemplo — depois comentamos a simetria):
Calcule a integral. Uma primitiva é
. Assim
Avaliaremos os limites:
Substituindo
e para simplificar definindo
, obtemos a forma final do potencial (válida para
):
Observação rápida de verificação: para
a expansão
leva a
, que é o potencial de uma carga pontual
— bom sinal de consistência.
Passo 4
Agora calcu-lo campo elétrico a partir do potencial. Lembrete didático: no eixo
o campo elétrico unidimensional é dado por
Vamos derivar a expressão obtida para
. Usando
com
e
, temos
Combine as frações:
Portanto
Aplicando
temos
Substituindo
e
simplifica muito porque
. Logo
Essa expressão é para o componente
do campo quando
. A direção do campo segue o sinal de
: para
o campo aponta no sentido
(para fora, pois carga positiva), e para
ele aponta no sentido
. Em forma vetorial e indicando a direção, podemos escrever para
:
Passo 5
Verificações rápidas e comentários úteis para prova:
- Limite
: e — comportamento de carga pontual. Bom para checar respostas numéricas. - Se o ponto estiver sobre o bastão (
), a integral direta do potencial contém um termo que diverge quando , portanto o potencial de uma linha de carga idealizada é infinito nesse ponto; fisicamente um bastão com raio finito não diverge — mas esse é outro modelo.