7 Mostre que a interseção do plano com o hiperboloide de uma folha consiste de duas retas e determine as equações paramétricas destas retas.
Passo 1
O enunciado pede a interseção do plano
com o hiperboloide de uma folha
Como a interseção de uma quadriculada com um plano é uma cônica, vamos mostrar que neste caso ela se decompõe em duas retas, usando substituição de em função de .
Passo 2
Da equação de isolamos :
Substituímos este em :
Multiplicando ambos os lados por (o mínimo comum de ) obtemos
Expandindo e simplificando com o do lado direito resulta
Passo 3
Dividindo por
Vemos isto como uma quadrática em :
O discriminante é
logo as raízes são
Isso mostra que a interseção se decompõe em duas retas dadas por essas duas relações entre .