7 Mostre que a interseção do plano pi: 4 x-5 y-10 z=20 com o hiperboloide de uma folha S: x^225+y^216-z^24=1 consiste de duas retas e determine as equações paramétricas destas retas.

Passo 1

O enunciado pede a interseção do plano
pi:;4x-5y-10z=20
com o hiperboloide de uma folha
S:;x^225+y^216-z^24=1
Como a interseção de uma quadriculada com um plano é uma cônica, vamos mostrar que neste caso ela se decompõe em duas retas, usando substituição de x em função de y,z.

Passo 2

Da equação de pi isolamos x:
4x = 5y + 10z + 20 Longrightarrow x = 5y + 10z + 204
Substituímos este x em S:
125l(5y+10z+204r)^2 +y^216-z^24=1
Multiplicando ambos os lados por 400 (o mínimo comum de 25,16,4) obtemos
(5y+10z+20)^2 ;+;25,y^2;-;100,z^2=400
Expandindo e simplificando com o 400 do lado direito resulta
50,y^2+100,y,z+200,y+400,z=0

Passo 3

Dividindo por
Vemos isto como uma quadrática em :
O discriminante é
logo as raízes são
Isso mostra que a interseção se decompõe em duas retas dadas por essas duas relações entre .

Passo 4

Para cada caso usamos x=(5y+10z+20)/4:
1) Se y=-4, então
x=5(-4)+10z+204=10z4=52z
Parametrizando por t=z, a primeira reta é
L1: x=tfrac52t, y=-4, z=t
2) Se y=-2z, então
x=5(-2z)+10z+204=204=5
Parametrizando por t=z, a segunda reta é
L2: x=5, y=-2t, z=t

Resposta

As retas de interseção são
L1:;(x,y,z)=l(tfrac52t,,-4,,tr), L2:;(x,y,z)=(5,,-2t,,t),
com tinR.

Exercícios relacionados