(a)
(b)
(c)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a norma euclidiana em
, definida por
satisfaz as três propriedades de norma:
(a) não-negatividade,
(b) homogeneidade absoluta e
(c) desigualdade triangular.
Vamos usar a definição acima e, para (c), a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
(a) não-negatividade,
(b) homogeneidade absoluta e
(c) desigualdade triangular.
Vamos usar a definição acima e, para (c), a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 2
Para (a), note que cada
é um real não negativo, logo
Tomando raiz quadrada, obtemos
o que prova
.
Passo 3
Para (b), começamos da definição:
Passo 4
Para (c), calculamos o quadrado da norma da soma e usamos Cauchy-Schwarz:
Como ambos os lados são não negativos, extraindo raiz quadrada obtém-se
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)