(a) |a| >= 0
(b) |x a|=|x||a|
(c) ||a+b|| <=|a|+|b|

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a norma euclidiana em R^n, definida por
|a| = raiza1^2 + a2^2 + cdots + an^2,
satisfaz as três propriedades de norma:
(a) não-negatividade,
(b) homogeneidade absoluta e
(c) desigualdade triangular.
Vamos usar a definição acima e, para (c), a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 2

Para (a), note que cada ai^2 é um real não negativo, logo
a1^2 + a2^2 + cdots + an^2 >= 0
Tomando raiz quadrada, obtemos
|a| = raiza1^2 + cdots + an^2 >= 0,
o que prova |a|>=0.

Passo 3

Para (b), começamos da definição:
|x,a| = raiz(x,a1)^2 + cdots + (x,an)^2 = raizx^2,(a1^2 + cdots + an^2) = raizx^2;raiza1^2 + cdots + an^2 = |x|;|a|

Passo 4

Para (c), calculamos o quadrado da norma da soma e usamos Cauchy-Schwarz:
|a+b|^2 = (a+b)cdot(a+b) = |a|^2 + 2,acdotb + |b|^2 <= |a|^2 + 2,|a|,|b| + |b|^2 = (|a|+|b|)^2
Como ambos os lados são não negativos, extraindo raiz quadrada obtém-se
|a+b| <= |a| + |b|

Resposta

(a) |a|>=0
(b) |x,a|=|x|;|a|
(c) |a+b|<=|a|+|b|

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