1.34 Verifique se os pontos A(1,-1,2), B(0,1,1) e C(2,-1,3) estão alinhados.
1.35 Determine y e z de modo que os pontos A(1,2,1), B(1,0,0) e C(1, y, z) sejam colineares.

Passo 1

O enunciado traz dois itens de geometria em R^3: em 1.34 verificar se os pontos A(1,-1,2), B(0,1,1) e C(2,-1,3) são colineares; em 1.35 encontrar y e z tais que A(1,2,1), B(1,0,0) e C(1,y,z) sejam colineares. Para isso usamos vetores e o critério de dependência linear de AB e AC.

Passo 2

Para 1.34 calculemos
AB = B - A = (0-1,;1-(-1),;1-2) = (-1,,2,,-1),
AC = C - A = (2-1,;-1-(-1),;3-2) = (1,,0,,1)
Se os três pontos forem colineares, AB e AC são paralelos.

Passo 3

Testamos o paralelismo via produto vetorial:
ABtimesAC = i&j&k -1&2&-1 1&0&1 = 2,i ;-;0,j;-;2,k = (2,,0,,-2)
Como esse resultado não é o vetor nulo, AB e AC não são dependentes lineares, logo os pontos não são colineares.

Passo 4

Para 1.35 temos
AB = B - A = (1-1,;0-2,;0-1) = (0,,-2,,-1),
AC = C - A = (1-1,;y-2,;z-1) = (0,;y-2,;z-1)
Queremos AC=k,AB para algum escalar k.

Passo 5

Da primeira componente 0= kcdot0 não dá restrição. Das demais:
y-2 = kcdot(-2), z-1 = kcdot(-1)
Isto é,
k = -y-22, z-1 = -k = y-22 ;Longrightarrow; z = 1 + y-22 = y2
Logo a condição de colinearidade é ,z=y2

Resposta

1.34 não estão alinhados.
1.35 z = y2

Exercícios relacionados