Neste exercício, faremos algumas questões a respeito da distribuição
:
(1,25 ponto) b) Determine o suporte e o suporte singular de
.
Lembremos que
.
(1,25 ponto) b) Determine o suporte e o suporte singular de
Lembremos que
Passo 1
O enunciado pede para determinar o suporte e o suporte singular da distribuição de valor principal
, definida por
onde
. Vamos usar as definições:
– Suporte de uma distribuição é o menor fechado
tal que
sempre que estiver contido em
.
– Suporte singular de é o conjunto de pontos em que
não coincide com uma função
localmente.
– Suporte de uma distribuição
– Suporte singular de
Passo 2
Para achar o suporte, buscamos abertos
tais que
para toda
com . Se
não contiver
, então em
a integral
é simplesmente a integral usual de
, que em geral é não nula (basta escolher
não simétrica). Logo não existe aberto não trivial onde a distribuição anula todas as test-funções. Portanto o menor fechado que cobre todos os pontos onde
não anula é
Isto é, o suporte de
é
.
Passo 3
Para o suporte singular, vemos que em
a distribuição coincide com a função
, que é
em todo ponto
. Logo não há singularidades fora de
. Em
a definição como valor principal evidencia uma descontinuidade na natureza da aplicação em torno de zero, isto é, ali a distribuição não é dada por uma função
. Portanto o suporte singular é
Resposta
Suporte:
.
Suporte singular: .
Suporte singular: