Neste exercício, faremos algumas questões a respeito da distribuição P V(1x) :
(1,25 ponto) b) Determine o suporte e o suporte singular de P V(1x).
Lembremos que P V(1x)(phi)=lim epsilon 0^+ integral|x| >= epsilon phi(x)x d x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o suporte e o suporte singular da distribuição de valor principal , definida por
onde . Vamos usar as definições:
– Suporte de uma distribuição é o menor fechado tal que sempre que estiver contido em .
– Suporte singular de é o conjunto de pontos em que não coincide com uma função localmente.

Passo 2

Para achar o suporte, buscamos abertos tais que para toda com . Se não contiver , então em a integral
é simplesmente a integral usual de , que em geral é não nula (basta escolher não simétrica). Logo não existe aberto não trivial onde a distribuição anula todas as test-funções. Portanto o menor fechado que cobre todos os pontos onde não anula é
Isto é, o suporte de é .

Passo 3

Para o suporte singular, vemos que em Rsetminus0 a distribuição coincide com a função 1/x, que é C^infty em todo ponto xneq0. Logo não há singularidades fora de 0. Em x=0 a definição como valor principal evidencia uma descontinuidade na natureza da aplicação em torno de zero, isto é, ali a distribuição não é dada por uma função C^infty. Portanto o suporte singular é
0

Resposta

Suporte: R.
Suporte singular: 0.

Exercícios relacionados