Demonstre as seguintes propriedades da norma.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a desigualdade triangular da norma, ou seja, mostrar que para quaisquer vetores
e
vale
O que vamos usar é a definição de norma via produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Elevamos ao quadrado a norma do somatório e usamos a bilinearidade do produto interno:
Passo 3
Aplicamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz ao termo
:
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Como ambos os lados da desigualdade acima são não-negativos, extraímos a raiz quadrada para concluir
Resposta
Portanto, demonstramos que