Demonstre as seguintes propriedades da norma.
||a+b|| <=|a|+|b||

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a desigualdade triangular da norma, ou seja, mostrar que para quaisquer vetores a e b vale
|a+b|<=|a|+|b|
O que vamos usar é a definição de norma via produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Elevamos ao quadrado a norma do somatório e usamos a bilinearidade do produto interno:
|a+b|^2 =lang<= a+b,,a+brang<= =|a|^2+2lang<= a,brang<=+|b|^2

Passo 3

Aplicamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz ao termo lang<= a,brang<=:
lang<= a,brang<= <= |a|;|b|
Substituindo em |a+b|^2, obtemos
|a+b|^2 <= |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = l(|a|+|b|r)^2

Passo 4

Como ambos os lados da desigualdade acima são não-negativos, extraímos a raiz quadrada para concluir
|a+b|<= |a|+|b|

Resposta

Portanto, demonstramos que
|a+b|<=|a|+|b|

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