35.21 • Considere duas antenas separadas por uma distância igual a 9,00 \mathrm{~m} que irradiam em fase a 120 MHz , como descrito no Exercício 35.3. Um receptor colocado à mesma distância de 150 m de ambas as antenas mede uma intensidade I_{0}. O receptor se desloca para uma posição tal que sua distância até uma das antenas é 1,8 \mathrm{~m} menor que sua distância da outra antena. (a) Qual é a diferença de fase, entre as duas ondas de rádio, produzida por essa diferença de caminho? (b) Em termos de I_{0}, qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Duas antenas radiam em fase à frequência \,120\\ \mathrm{MHz}.
  • As antenas estão separadas por 9{,}00\\ \mathrm{m} (essa informação da separação não será necessária para os cálculos que virão, mas foi fornecida).
  • Um receptor, inicialmente colocado à mesma distância de 150\\ \mathrm{m} de ambas as antenas, mede uma intensidade I_{0}.
  • O receptor é deslocado para uma nova posição tal que a distância até uma antena é 1{,}8\\ \mathrm{m} menor que a distância até a outra antena. Ou seja, a diferença de caminhos é \Delta = 1{,}8\\ \mathrm{m}.
Perguntas:
(a) Qual é a diferença de fase \Delta\varphi entre as duas ondas causada por essa diferença de caminho \Delta?
(b) Em termos de I_{0}, qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?

Passo 2

Primeiro vamos relacionar diferença de caminho \Delta com diferença de fase \Delta\varphi. A fórmula básica é
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta,
onde \lambda é o comprimento de onda. Para encontrar \lambda usamos a relação entre velocidade da luz c, frequência f e comprimento de onda:
\lambda=\frac{c}{f}.
Aqui tomamos c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e f=120\\ \mathrm{MHz}=1{,}20\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}. Vamos calcular \lambda.

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda:
\lambda=\frac{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{1{,}20\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}}=2{,}50\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos à fórmula da fase com \Delta=1{,}8\\ \mathrm{m}:
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta=\frac{2\pi}{2{,}50}\times1{,}8=1{,}44\pi\\ \text{rad}.
Convertendo para radianos e graus:
1{,}44\pi\\ \text{rad}\approx4{,}524\\ \text{rad}=259{,}2^\circ.

Passo 4

Agora vamos relacionar diferença de fase com a intensidade resultante. Para duas ondas coerentes de mesmas amplitudes, as intensidades se combinam segundo
I = I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\Delta\varphi,
onde I_{1} e I_{2} são as intensidades produzidas por cada antena individualmente no ponto do receptor (se as antenas estão à mesma distância produziriam a mesma intensidade). Uma forma alternativa e conveniente, usando I_{1}=I_{2}=I_{\text{single}}, é
I=2I_{\text{single}}(1+\cos\Delta\varphi)=4I_{\text{single}}\cos^{2}\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right),
usando a identidade trigonométrica 1+\cos x = 2\cos^{2}(x/2). Vou explicar: somamos dois campos elétricos de mesma amplitude e diferença de fase \Delta\varphi; a amplitude resultante é 2E_{0}\cos(\Delta\varphi/2) e a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, daí a forma com \cos^{2}.

Passo 5

Vamos relacionar I_{0} com I_{\text{single}}. Na posição inicial o receptor está à mesma distância das duas antenas, então a diferença de fase inicial é 0 e há máxima interferência construtiva. Assim
I_{0}=I(\Delta\varphi=0)=4I_{\text{single}}.
Logo
I_{\text{single}}=\frac{I_{0}}{4}.

Passo 6

Para a nova posição, com diferença de fase \Delta\varphi calculada no Passo 3, a intensidade resultante é
I=4I_{\text{single}}\cos^{2}\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right).
Substituindo I_{\text{single}}=I_{0}/4 obtém-se a expressão conveniente
I=I_{0}\cos^{2}\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right).
Portanto basta calcular \cos^{2}(\Delta\varphi/2).

Passo 7

Calculamos \Delta\varphi/2 e \cos^{2}:
\frac{\Delta\varphi}{2}= \frac{1{,}44\pi}{2}=0{,}72\pi\\ \text{rad}.
O cosseno vale aproximadamente
\cos\!\left(0{,}72\pi\right)\approx -0{,}6374,
e, portanto,
\cos^{2}\!\left(0{,}72\pi\right)\approx 0{,}406.
Então a intensidade medida na nova posição é
I\approx 0{,}406\,I_{0}.

Resposta

(a) \Delta\varphi = 1{,}44\pi\\ \text{rad} \approx 4{,}524\\ \text{rad} = 259{,}2^\circ
(b) I \approx 0{,}406\,I_{0}

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