35.21 • Considere duas antenas separadas por uma distância igual a
que irradiam em fase a 120 MHz , como descrito no Exercício 35.3. Um receptor colocado à mesma distância de 150 m de ambas as antenas mede uma intensidade
. O receptor se desloca para uma posição tal que sua distância até uma das antenas é
menor que sua distância da outra antena. (a) Qual é a diferença de fase, entre as duas ondas de rádio, produzida por essa diferença de caminho? (b) Em termos de
, qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Duas antenas radiam em fase à frequência
. - As antenas estão separadas por
(essa informação da separação não será necessária para os cálculos que virão, mas foi fornecida). - Um receptor, inicialmente colocado à mesma distância de
de ambas as antenas, mede uma intensidade . - O receptor é deslocado para uma nova posição tal que a distância até uma antena é
menor que a distância até a outra antena. Ou seja, a diferença de caminhos é .
Perguntas:
(a) Qual é a diferença de fase entre as duas ondas causada por essa diferença de caminho
?
(b) Em termos de , qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?
(a) Qual é a diferença de fase
(b) Em termos de
Passo 2
Primeiro vamos relacionar diferença de caminho
com diferença de fase
. A fórmula básica é
onde
é o comprimento de onda. Para encontrar
usamos a relação entre velocidade da luz
, frequência
e comprimento de onda:
Aqui tomamos
e
. Vamos calcular
.
Passo 3
Cálculo do comprimento de onda:
Agora aplicamos à fórmula da fase com
:
Convertendo para radianos e graus:
Passo 4
Agora vamos relacionar diferença de fase com a intensidade resultante. Para duas ondas coerentes de mesmas amplitudes, as intensidades se combinam segundo
onde
e
são as intensidades produzidas por cada antena individualmente no ponto do receptor (se as antenas estão à mesma distância produziriam a mesma intensidade). Uma forma alternativa e conveniente, usando
, é
usando a identidade trigonométrica
. Vou explicar: somamos dois campos elétricos de mesma amplitude e diferença de fase
; a amplitude resultante é
e a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, daí a forma com
.
Passo 5
Vamos relacionar
com
. Na posição inicial o receptor está à mesma distância das duas antenas, então a diferença de fase inicial é
e há máxima interferência construtiva. Assim
Logo
Passo 6
Para a nova posição, com diferença de fase
calculada no Passo 3, a intensidade resultante é
Substituindo
obtém-se a expressão conveniente
Portanto basta calcular
.
Passo 7
Calculamos
e
:
O cosseno vale aproximadamente
e, portanto,
Então a intensidade medida na nova posição é
Resposta
(a)
(b)
(b)