Um anel de raio a, que está no plano x y, com o cixo z passando pelo seu centro, possui densidade de carga linear \rho l. O disco gira com velocidade angular constante \omega. Calcule H em qualquer ponto do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o campo \mathbf{H} em qualquer ponto do eixo z (ou seja, para qualquer altura z sobre o plano do anel).\n
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Anel de raio } a \text{, situado no plano } xy \text{ com centro na origem;}\\\ &\text{densidade linear de carga } \rho_l \text{ (carga por comprimento ao longo do anel);}\\\ &\text{o anel gira com velocidade angular constante } \omega;\\\ &\text{queremos } \mathbf{H}(z) \text{ no eixo } z. \end{aligned}

Passo 2

Ideia física e definição de corrente equivalente: quando cargas estão em movimento periódico elas geram uma corrente elétrica. Vou transformar o anel carregado em um circuito com corrente I equivalente.\n
  • Primeiro calcule a carga total Q no anel. A carga linear \rho_l multiplicada pelo comprimento do anel ( 2\pi a) dá
Q = \rho_l \cdot 2\pi a.
  • A corrente elétrica média associada a cargas que giram com frequência angular \omega é a carga que passa por um ponto por segundo. O período é T = \dfrac{2\pi}{\omega}, então
I=\frac{Q}{T} = Q\frac{\omega}{2\pi}.
  • Substituindo Q,
I = \rho_l \, 2\pi a \cdot \frac{\omega}{2\pi} = \rho_l\, a\, \omega.
Explicação didática: pense nas cargas correndo ao longo do anel com velocidade angular \omega. Em cada volta, uma quantidade Q passa por um ponto; o número de voltas por segundo é \omega/(2\pi), daí I=Q\omega/(2\pi).

Passo 3

Formula que vou usar para o campo magnético: o Biot–Savart para uma corrente I estacionária descreve o campo magnético \mathbf{B}:
\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I\, d\boldsymbol{\ell} \times \hat{\mathbf{R}}}{R^2},
onde:
  • d\boldsymbol{\ell} é o elemento de comprimento no fio (direção da corrente),
  • \mathbf{R} é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto de observação,
  • R=|\mathbf{R}| e \hat{\mathbf{R}}=\mathbf{R}/R,
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.\n
    Depois, como não há materiais magnetizáveis, relacionamos \mathbf{H} e \mathbf{B} por
\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}.
Explicação didática: \mathbf{B} é o campo magnético físico; \mathbf{H} é \mathbf{B}/\mu_0 em meio livre. Usamos Biot–Savart porque temos uma corrente distribuída ao longo de um anel.

Passo 4

Cálculo de \mathbf{B} no eixo por simetria e integração elementar.\n
  • Considere um ponto sobre o eixo em altura z (vetor posição \mathbf{r}=z\hat{\mathbf{z}}). Um elemento do anel em ângulo \varphi tem posição \mathbf{r}'=a\hat{\boldsymbol{\rho}}(\varphi) e elemento de comprimento
d\boldsymbol{\ell} = a\, d\varphi\, \hat{\boldsymbol{\varphi}}.
  • O vetor que vai do elemento até o ponto é
\mathbf{R} = \mathbf{r}-\mathbf{r}' = z\hat{\mathbf{z}} - a\hat{\boldsymbol{\rho}}(\varphi),
e sua magnitude é
R = \sqrt{a^2+z^2}
(independente de \varphi por simetria). Assim \hat{\mathbf{R}}=(z\hat{\mathbf{z}}-a\hat{\boldsymbol{\rho}})/R.\n
  • Compute o produto vetorial que aparece no integrando:
d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{R}} = a\, d\varphi\, \hat{\boldsymbol{\varphi}}\times\frac{z\hat{\mathbf{z}}-a\hat{\boldsymbol{\rho}}}{R} = \frac{a\, d\varphi}{R}\big( z\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\times\hat{\mathbf{z}} - a\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\times\hat{\boldsymbol{\rho}}\big).
Usando as identidades dos versores cilíndricos ( \hat{\boldsymbol{\varphi}}\times\hat{\mathbf{z}}=\hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}}\times\hat{\boldsymbol{\rho}}=-\hat{\mathbf{z}}), obtemos
d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{R}} = \frac{a\, d\varphi}{R}\big( z\hat{\boldsymbol{\rho}} + a\hat{\mathbf{z}}\big).
  • Quando inserimos isso no Biot–Savart, o componente radial ( \hat{\boldsymbol{\rho}}) se anula ao integrar \varphi de 0 a 2\pi por simetria (as contribuições se cancelam). Só sobra a componente z. Assim o diferencial da componente z de \mathbf{B} é
dB_z = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{R^2}\left(\frac{a\, d\varphi}{R}\, a\right) = \frac{\mu_0 I a^2}{4\pi R^3}\, d\varphi.
  • Integrando \varphi de 0 a 2\pi,
B_z(z) = \int_0^{2\pi} dB_z = \frac{\mu_0 I a^2}{4\pi R^3}\cdot 2\pi = \frac{\mu_0 I a^2}{2R^3},
onde R=(a^2+z^2)^{1/2}.\n
  • Portanto o campo magnético é ao longo de \hat{\mathbf{z}}:
\mathbf{B}(z) = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
Comentário didático: essa é a fórmula clássica para o campo no eixo de uma espira circular com corrente I. A parte técnica essencial foi usar a simetria para ver que só a componente axial soma, e calcular o produto vetorial para obter o fator a^2 no numerador.

Passo 5

Transformar para \mathbf{H} e substituir I em função de \rho_l e \omega.\n
  • Como estamos no vácuo,
\mathbf{H}(z) = \frac{\mathbf{B}(z)}{\mu_0} = \frac{I a^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Substitua I=\rho_l\, a\, \omega (do Passo 2):
\mathbf{H}(z) = \frac{\rho_l\, a\, \omega \; a^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}} = \frac{\rho_l\, \omega\, a^3}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
Explicação didática final: o prefator cresce com a^3 porque tanto a carga total ( \propto a) quanto o braço de alavanca magnético ( \propto a^2 na fórmula da espira) entram. O decaimento com z é como (a^2+z^2)^{-3/2}, típico de dipolos magnéticos ao se afastar no eixo.

Passo 6

Orientação do vetor: o sentido de \mathbf{H} (sinal) depende do sentido de rotação e do sinal da carga \rho_l.\n
  • Se \rho_l>0 (cargas positivas) e a rotação tem sentido tal que visto do eixo positivo z a corrente é contrária ao ponteiro do relógio (sentido anti-horário), então \mathbf{H} aponta para +\,\hat{\mathbf{z}} (o mesmo que escrevemos acima). Se a rotação for no sentido oposto ou se \rho_l for negativa, o sinal muda. Use a regra da mão direita: polegar aponta para \mathbf{B} quando os dedos seguem a corrente.

Resposta

\mathbf{H}(z)=\frac{\rho_l\, \omega\, a^3}{2\big(a^2+z^2\big)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.

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