Um anel de raio
, que está no plano
, com o cixo
passando pelo seu centro, possui densidade de carga linear
. O disco gira com velocidade angular constante
. Calcule
em qualquer ponto do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o campo
em qualquer ponto do eixo
(ou seja, para qualquer altura
sobre o plano do anel).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Ideia física e definição de corrente equivalente: quando cargas estão em movimento periódico elas geram uma corrente elétrica. Vou transformar o anel carregado em um circuito com corrente
equivalente.\n
- Primeiro calcule a carga total
no anel. A carga linear multiplicada pelo comprimento do anel ( ) dá
- A corrente elétrica média associada a cargas que giram com frequência angular
é a carga que passa por um ponto por segundo. O período é , então
- Substituindo
,
Explicação didática: pense nas cargas correndo ao longo do anel com velocidade angular
. Em cada volta, uma quantidade
passa por um ponto; o número de voltas por segundo é
, daí
.
Passo 3
Formula que vou usar para o campo magnético: o Biot–Savart para uma corrente
estacionária descreve o campo magnético
:
onde:
-
é o elemento de comprimento no fio (direção da corrente), -
é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto de observação, -
e , -
é a permeabilidade do vácuo.\n
Depois, como não há materiais magnetizáveis, relacionamose por
Explicação didática:
é o campo magnético físico;
é
em meio livre. Usamos Biot–Savart porque temos uma corrente distribuída ao longo de um anel.
Passo 4
Cálculo de
no eixo por simetria e integração elementar.\n
- Considere um ponto sobre o eixo em altura
(vetor posição ). Um elemento do anel em ângulo tem posição e elemento de comprimento
- O vetor que vai do elemento até o ponto é
e sua magnitude é
(independente de
por simetria). Assim
.\n
- Compute o produto vetorial que aparece no integrando:
Usando as identidades dos versores cilíndricos (
e
), obtemos
- Quando inserimos isso no Biot–Savart, o componente radial (
) se anula ao integrar de a por simetria (as contribuições se cancelam). Só sobra a componente . Assim o diferencial da componente de é
- Integrando
de a ,
onde
.\n
- Portanto o campo magnético é ao longo de
:
Comentário didático: essa é a fórmula clássica para o campo no eixo de uma espira circular com corrente
. A parte técnica essencial foi usar a simetria para ver que só a componente axial soma, e calcular o produto vetorial para obter o fator
no numerador.
Passo 5
Transformar para
e substituir
em função de
e
.\n
- Como estamos no vácuo,
- Substitua
(do Passo 2):
Explicação didática final: o prefator cresce com
porque tanto a carga total (
) quanto o braço de alavanca magnético (
na fórmula da espira) entram. O decaimento com
é como
, típico de dipolos magnéticos ao se afastar no eixo.
Passo 6
Orientação do vetor: o sentido de
(sinal) depende do sentido de rotação e do sinal da carga
.\n
- Se
(cargas positivas) e a rotação tem sentido tal que visto do eixo positivo a corrente é contrária ao ponteiro do relógio (sentido anti-horário), então aponta para (o mesmo que escrevemos acima). Se a rotação for no sentido oposto ou se for negativa, o sinal muda. Use a regra da mão direita: polegar aponta para quando os dedos seguem a corrente.