Um carro produz um ronco característico com freqüência de 65 Hz , independente de sua velocidade. Estando ainda do lado de fora, ao aproximar-se de um pequeno túnel com 10,0 \mathrm{~m} de comprimento e a uma velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, o carro produz um som
que uma pessoa no interior do túnel escuta muito alto, devido à ressonância. (a) Qual a frequência que a pessoa no túnel vai escutar? (b) Qual o modo de vibração acústica do túnel que está em ressonância com o som produzido pelo carro? (c) Considerando que o carro passou pelo túnel e segue à mesma velocidade, ao sair do outro lado, o som que ele produz ainda gera uma ressonância no túnel? Explique. (d) Estando se afastando do túnel, até qual velocidade o carro deveria chegar para seu ronco produzir uma ressonância com o segundo harmônico ( n=3 ) do túnel? Obs: Use v_{\text {som }}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, como a velocidade do som. Resposta: (a) 68 Hz ; (b) n=4; (c) Não; (d) 93,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá um carro que produz um ronco de frequência constante e pede várias coisas sobre ressonância no túnel. Aqui estão as perguntas e os dados fornecidos:
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Qual a frequência que a pessoa no túnel vai escutar quando o carro se aproxima a 15\\ \mathrm{m/s}?
    2. (b) Qual o modo (n) de vibração acústica do túnel que está em ressonância com esse som?
    3. (c) Após o carro passar e seguir com a mesma velocidade, ao sair do outro lado o som ainda gera ressonância no túnel? Explique.
    4. (d) Estando o carro se afastando, até qual velocidade ele deveria chegar para seu ronco produzir ressonância com o harmônico com n=3 do túnel?
  • Dados numéricos fornecidos:
    f_s = 65\\ \mathrm{Hz}\quad(\text{frequência do carro, fonte})ê
v_s = 15\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{velocidade do carro, para as partes a/b/c})
L = 10,0\\ \mathrm{m}\quad(\text{comprimento do túnel})ú
v_{\text{som}} = 340\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{velocidade do som})
Observação importante (necessária para resolver b e d): vou assumir que o túnel está aberto em ambas as extremidades (situação usual). Assim os modos próprios do túnel são aqueles de um tubo aberto em ambas as extremidades.

Passo 2

Entendendo como a frequência muda quando a fonte se move (Doppler) — explicação e fórmula.
  • Conceito rápido e intuitivo: quando a fonte do som se move em direção a um ouvinte estacionário, as cristas das ondas chegam mais frequentemente, então o ouvinte percebe uma frequência maior. Quando a fonte se afasta, percebe-se uma frequência menor.
  • Fórmula (caso aqui: observador fixo, fonte em movimento): para fonte se aproximando,
    f_{\text{obs}} = \frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}} - v_s}\, f_s,
    onde
    f_{\text{obs}}=\text{frequência ouvida},\quad v_{\text{som}}=\text{velocidade do som},\quad v_s=\text{velocidade da fonte (positiva se se aproxima)}.ê
    (Se a fonte estiver se afastando, a fórmula é f_{\text{obs}}=\dfrac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}}+v_s}f_s.)
Agora aplicamos a fórmula com os números dados para o caso de aproximação ( v_s=15\\ \mathrm{m/s}).

Passo 3

Cálculo de (a): frequência ouvida enquanto o carro se aproxima.
  • Substituindo na fórmula: f_{\text{obs}} = \frac{340}{340-15}\cdot 65.
  • Primeiro calcule o denominador e a razão: 340-15 = 325,
\frac{340}{325} = 1,0461538\ldots
  • Multiplicando por 65: f_{\text{obs}} \approx 1,0461538\cdot 65 \approx 68{,}0\\ \mathrm{Hz}.
Conclusão: a pessoa no túnel ouve aproximadamente 68{,}0\\ \mathrm{Hz}. (Isso responde (a).)

Passo 4

Entendendo os modos próprios (ressonância) do túnel — teoria e fórmula.
  • Por que o túnel tem modos? Um túnel aberto em ambas as extremidades comporta-se como um tubo aberto: ondas sonoras internas podem formar ondas estacionárias que têm antinós (picos de amplitude) nas aberturas e nós em pontos internos. Cada modo tem um comprimento de onda e uma frequência bem definida.
  • Fórmulas para um tubo aberto em ambas extremidades:
    \lambda_n = \frac{2L}{n},
f_n = \frac{v_{\text{som}}}{\lambda_n} = \frac{n\, v_{\text{som}}}{2L},
onde
n=1,2,3,\ldots
é o número do modo (harmônico), L é o comprimento do túnel, v_{\text{som}} é a velocidade do som, f_n é a frequência do modo n.
  • Vamos calcular a frequência do modo fundamental ( n=1) para ter uma referência: f_1 = \frac{1\cdot 340}{2\cdot 10{,}0} = \frac{340}{20} = 17{,}0\\ \mathrm{Hz}.Então os harmônicos são múltiplos inteiros de 17{,}0\\ \mathrm{Hz}: 17{,}0,\\\ 34{,}0,\\\ 51{,}0,\\\ 68{,}0,\\ \ldots

Passo 5

Cálculo de (b): identifique o modo n que coincide com a frequência ouvida 68{,}0\\ \mathrm{Hz}.
  • Como f_n = n\cdot 17{,}0\\ \mathrm{Hz}, basta dividir a frequência observada por 17{,}0\\ \mathrm{Hz}: n = \frac{f_{\text{obs}}}{f_1} = \frac{68{,}0}{17{,}0} = 4.
  • Interpretação física rápida: o modo n=4 significa que dentro do túnel a onda estacionária terá quatro meias-ondas cabendo no comprimento L, com antinós nas aberturas e nós internos conforme o padrão do quarto harmônico.
Portanto a resposta para (b) é n=4.

Passo 6

Análise de (c): o carro já passou e segue com mesma velocidade; o som ainda gera ressonância no túnel?
  • Primeiro calcule a frequência percebida quando a fonte se afasta (mesma magnitude de velocidade v_s=15\\ \mathrm{m/s}, agora recuando). A fórmula para fonte se afastando é
    f' = \frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}} + v_s}\, f_s.
  • Substituindo:
    f' = \frac{340}{340+15}\cdot 65 = \frac{340}{355}\cdot 65.
  • Calcule a razão e o produto:
    \frac{340}{355} \approx 0{,}9577465,\quad f' \approx 0{,}9577465\cdot 65 \approx 62{,}3\\ \mathrm{Hz}.
  • Compare com as frequências de ressonância do túnel (múltiplos de 17{,}0\\ \mathrm{Hz}): 17{,}0,\\\ 34{,}0,\\\ 51{,}0,\\\ 68{,}0,\ldots O valor 62{,}3\\ \mathrm{Hz} não coincide com nenhum desses valores.
Conclusão: Não — quando o carro está se afastando com 15\\ \mathrm{m/s} a frequência percebida ( \approx 62{,}3\\ \mathrm{Hz}) não coincide com um modo natural do túnel, logo não haverá ressonância forte. (Existem efeitos transitórios e ressonâncias fracas por proximidade, mas estritamente falando não ocorre a ressonância do modo.)

Passo 7

Cálculo de (d): qual velocidade o carro deve ter, afastando-se, para que seu ronco excite o modo com n=3 do túnel?
  • Primeiro calcule a frequência do modo n=3:
    f_3 = \frac{3\cdot v_{\text{som}}}{2L} = 3\cdot 17{,}0 = 51{,}0\\ \mathrm{Hz}.
  • Queremos que a frequência percebida enquanto o carro se afasta seja exatamente 51{,}0\\ \mathrm{Hz}. Usamos a fórmula para fonte em movimento afastando-se:
    f_{\text{obs}} = \frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}} + v_s}\, f_s.
    Impomos f_{\text{obs}} = f_3, ou seja
    51{,}0 = \frac{340}{340 + v_s}\cdot 65.
  • Agora resolvemos para v_s. Multiplicando ambos os lados por 340+v_s:
    51{,}0\,(340+v_s) = 340\cdot 65.
    Calculando os termos:
    51{,}0\cdot 340 = 17\,340,\qquad 340\cdot 65 = 22\,100.
    Então
    17\,340 + 51{,}0\, v_s = 22\,100.
    Subtraindo 17\,340:
    51{,}0\, v_s = 22\,100 - 17\,340 = 4\,760.
    Logo
    v_s = \frac{4\,760}{51{,}0} \approx 93{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando convenientemente (duas casas significativas, como nos dados):
    v_s \approx 93{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: é uma velocidade muito alta (quase 336\\ \mathrm{km/h}), portanto pouco realista para um carro comum.

Resposta

(a) 68{,}0\\ \mathrm{Hz}
(b) n=4
(c) Não
(d) 93{,}3\\ \mathrm{m/s}

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