Um carro produz um ronco característico com freqüência de 65 Hz , independente de sua velocidade. Estando ainda do lado de fora, ao aproximar-se de um pequeno túnel com
de comprimento e a uma velocidade de
, o carro produz um som
que uma pessoa no interior do túnel escuta muito alto, devido à ressonância. (a) Qual a frequência que a pessoa no túnel vai escutar? (b) Qual o modo de vibração acústica do túnel que está em ressonância com o som produzido pelo carro? (c) Considerando que o carro passou pelo túnel e segue à mesma velocidade, ao sair do outro lado, o som que ele produz ainda gera uma ressonância no túnel? Explique. (d) Estando se afastando do túnel, até qual velocidade o carro deveria chegar para seu ronco produzir uma ressonância com o segundo harmônico (
) do túnel? Obs: Use
, como a velocidade do som. Resposta: (a) 68 Hz ; (b)
; (c) Não; (d)
.
que uma pessoa no interior do túnel escuta muito alto, devido à ressonância. (a) Qual a frequência que a pessoa no túnel vai escutar? (b) Qual o modo de vibração acústica do túnel que está em ressonância com o som produzido pelo carro? (c) Considerando que o carro passou pelo túnel e segue à mesma velocidade, ao sair do outro lado, o som que ele produz ainda gera uma ressonância no túnel? Explique. (d) Estando se afastando do túnel, até qual velocidade o carro deveria chegar para seu ronco produzir uma ressonância com o segundo harmônico (
Passo 1
O enunciado dá um carro que produz um ronco de frequência constante e pede várias coisas sobre ressonância no túnel. Aqui estão as perguntas e os dados fornecidos:
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Qual a frequência que a pessoa no túnel vai escutar quando o carro se aproxima a
? - (b) Qual o modo (n) de vibração acústica do túnel que está em ressonância com esse som?
- (c) Após o carro passar e seguir com a mesma velocidade, ao sair do outro lado o som ainda gera ressonância no túnel? Explique.
- (d) Estando o carro se afastando, até qual velocidade ele deveria chegar para seu ronco produzir ressonância com o harmônico com
do túnel?
- (a) Qual a frequência que a pessoa no túnel vai escutar quando o carro se aproxima a
-
Dados numéricos fornecidos:
Observação importante (necessária para resolver b e d): vou assumir que o túnel está aberto em ambas as extremidades (situação usual). Assim os modos próprios do túnel são aqueles de um tubo aberto em ambas as extremidades.
Passo 2
Entendendo como a frequência muda quando a fonte se move (Doppler) — explicação e fórmula.
-
Conceito rápido e intuitivo: quando a fonte do som se move em direção a um ouvinte estacionário, as cristas das ondas chegam mais frequentemente, então o ouvinte percebe uma frequência maior. Quando a fonte se afasta, percebe-se uma frequência menor.
-
Fórmula (caso aqui: observador fixo, fonte em movimento): para fonte se aproximando,onde(Se a fonte estiver se afastando, a fórmula é
.)
Agora aplicamos a fórmula com os números dados para o caso de aproximação (
).
Passo 3
Cálculo de (a): frequência ouvida enquanto o carro se aproxima.
- Substituindo na fórmula:
- Primeiro calcule o denominador e a razão:
- Multiplicando por
:
Conclusão: a pessoa no túnel ouve aproximadamente
. (Isso responde (a).)
Passo 4
Entendendo os modos próprios (ressonância) do túnel — teoria e fórmula.
-
Por que o túnel tem modos? Um túnel aberto em ambas as extremidades comporta-se como um tubo aberto: ondas sonoras internas podem formar ondas estacionárias que têm antinós (picos de amplitude) nas aberturas e nós em pontos internos. Cada modo tem um comprimento de onda e uma frequência bem definida.
-
Fórmulas para um tubo aberto em ambas extremidades:
onde
é o número do modo (harmônico),
é o comprimento do túnel,
é a velocidade do som,
é a frequência do modo
.
- Vamos calcular a frequência do modo fundamental (
) para ter uma referência: Então os harmônicos são múltiplos inteiros de :
Passo 5
Cálculo de (b): identifique o modo
que coincide com a frequência ouvida
.
- Como
, basta dividir a frequência observada por : - Interpretação física rápida: o modo
significa que dentro do túnel a onda estacionária terá quatro meias-ondas cabendo no comprimento , com antinós nas aberturas e nós internos conforme o padrão do quarto harmônico.
Portanto a resposta para (b) é
.
Passo 6
Análise de (c): o carro já passou e segue com mesma velocidade; o som ainda gera ressonância no túnel?
-
Primeiro calcule a frequência percebida quando a fonte se afasta (mesma magnitude de velocidade
, agora recuando). A fórmula para fonte se afastando é -
Substituindo:
-
Calcule a razão e o produto:
-
Compare com as frequências de ressonância do túnel (múltiplos de
): O valor não coincide com nenhum desses valores.
Conclusão: Não — quando o carro está se afastando com
a frequência percebida (
) não coincide com um modo natural do túnel, logo não haverá ressonância forte. (Existem efeitos transitórios e ressonâncias fracas por proximidade, mas estritamente falando não ocorre a ressonância do modo.)
Passo 7
Cálculo de (d): qual velocidade o carro deve ter, afastando-se, para que seu ronco excite o modo com
do túnel?
-
Primeiro calcule a frequência do modo
: -
Queremos que a frequência percebida enquanto o carro se afasta seja exatamente
. Usamos a fórmula para fonte em movimento afastando-se: Impomos, ou seja -
Agora resolvemos para
. Multiplicando ambos os lados por : Calculando os termos:EntãoSubtraindo: Logo -
Arredondando convenientemente (duas casas significativas, como nos dados):
Interpretação: é uma velocidade muito alta (quase
), portanto pouco realista para um carro comum.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não
(d)
(b)
(c) Não
(d)