Uma lente convergente com distância focal de 7,00 \mathrm{~cm} forma uma imagem de um objeto com altura de 4,00 \mathrm{~mm} situado à esquerda da lente. A imagem é ereta e possui altura igual a 1,30 \mathrm{~cm}. Onde estão localizados o objeto e a imagem? A imagem é real ou virtual?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre onde estão localizados o objeto e a imagem formados por uma lente convergente e que determinemos se a imagem é real ou virtual. Informações dadas no enunciado:
  • distância focal da lente: f=7{,}00\\ \mathrm{cm};
  • altura do objeto: h_o=4{,}00\\ \mathrm{mm} (o enunciado diz que o objeto está à esquerda da lente);
  • altura da imagem (ere­ta): h_i=1{,}30\\ \mathrm{cm};
  • a imagem é ereta (isso é informação importante sobre o sinal da ampliação).
Não há nenhuma outra informação gráfica necessária — tudo que precisamos está acima.

Passo 2

Converter unidades para trabalhar consistentemente (vou usar centímetros). Converter a altura do objeto:
h_o = 4{,}00\\ \mathrm{mm} = 0{,}400\\ \mathrm{cm}.
A altura da imagem já está em centímetros: h_i=1{,}30\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Entender a relação entre alturas e ampliação linear. A ampliação (ou magnificação) m é definida por
m=\frac{h_i}{h_o}.
Calculamos m:
m=\frac{1{,}30}{0{,}400}=3{,}25.
Interpretação: m=+3{,}25 (número positivo) significa que a imagem é ereta e tem 3{,}25 vezes a altura do objeto. Isso bate com a informação do enunciado que a imagem é ereta.

Passo 4

Relação entre ampliação e posições (convenção de lentes delgadas): a ampliação também é dada por
m=-\frac{q}{p},
onde p é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto está à esquerda da lente, como aqui) e q é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem estiver do lado oposto ao objeto — isto é, à direita — e negativa se estiver do mesmo lado do objeto — isto é, à esquerda). Como obtivemos m=+3{,}25, substituindo:
3{,}25=-\frac{q}{p}\quad\Rightarrow\quad q=-3{,}25\,p.
O sinal negativo para q indica já, por esta relação, que q deverá ser negativo: a imagem estará do mesmo lado do objeto (à esquerda da lente), ou seja, será virtual. Vou confirmar isso resolvendo a equação da lente.

Passo 5

Usar a equação das lentes delgadas (fórmula de Gauss):
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
Substituo q=-3{,}25\,p nessa fórmula:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{-3{,}25\,p}=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{3{,}25}\right).
Calcule o fator numérico 1-\dfrac{1}{3{,}25}. Como 3{,}25=\dfrac{13}{4}, temos
1-\frac{1}{3{,}25}=1-\frac{4}{13}=\frac{9}{13}.
Portanto
\frac{1}{f}=\frac{9}{13}\cdot\frac{1}{p}.

Passo 6

Isolar p. Da última relação:
\frac{1}{p}=\frac{1}{f}\cdot\frac{13}{9}.
Substituindo f=7{,}00\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{p}=\frac{1}{7{,}00}\cdot\frac{13}{9}=\frac{13}{63}.
Logo
p=\frac{63}{13}\\ \mathrm{cm}\approx4{,}85\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: o objeto está a 4{,}85\\ \mathrm{cm} à esquerda da lente (valor positivo para p e enunciado já dizia que o objeto está à esquerda).

Passo 7

Calcular q usando q=-3{,}25\,p:
q=-3{,}25\times4{,}846153\dots\\ \mathrm{cm}=-15{,}75\\ \mathrm{cm}.
Arredondando com três algarismos significativos (consistentes com os dados), q\approx-15{,}8\\ \mathrm{cm}.
Interpretação do sinal: q negativo indica que a imagem está à esquerda da lente (mesmo lado do objeto), portanto é virtual. A distância absoluta da imagem ao centro da lente é 15{,}8\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Verificação rápida da consistência usando a fórmula da lente:
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{4{,}84615}+\frac{1}{-15{,}75}\approx0{,}20635-0{,}06349=0{,}14286=\frac{1}{7{,}00},
confirma que os valores satisfazem a equação da lente. Verificação da ampliação:
m=-\frac{q}{p}=-\frac{-15{,}75}{4{,}84615}=3{,}25=\frac{1{,}30}{0{,}400},
coerente com as alturas dadas.

Resposta

Objeto: p=4{,}85\\ \mathrm{cm} à esquerda da lente.
Imagem: q=-15{,}8\\ \mathrm{cm} (ou seja, 15{,}8\\ \mathrm{cm} à esquerda da lente); imagem virtual e erecta.

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