35.30 •• Uma pesquisadora mede a espessura de uma camada de benzeno ( n=1,50 ) flutuando sobre a água emitindo uma luz monocromática sobre a película e variando o comprimento de onda da luz. Ela descobre que a luz com comprimento de onda igual a 575 nm é a que reflete mais fortemente do filme. Qual é a espessura mínima da película que ela encontra?

Passo 1

O enunciado pede a espessura mínima da película de benzeno que produz reflexão máxima para luz de comprimento de onda 575\\ \text{nm}. Informações dadas e assumidas (tudo explícito):
\;n_{\text{filme}}=1,50 (índice do benzeno).
\;\lambda_0=575\\ \text{nm} (comprimento de onda da luz no ar/vácuo).
A película está sobre a água; assumimos o índice da água como \;n_{\text{água}}\approx 1,33á.
Assumimos também que a luz incide a partir do ar, com \;n_{\text{ar}}\approx 1,00.
A pergunta é: qual a menor espessura t do filme que dá reflexão máxima?

Passo 2

Vamos entender fisicamente o que interfere. Há duas ondas refletidas importantes:
  1. a refletida na superfície ar–filme (topo);
  2. a refletida na superfície filme–água (fundo), após atravessar o filme e voltar.
Quando uma onda é refletida num limite em que o índice aumenta (de n menor para n maior) ela sofre inversão de fase de \pi (metade de uma onda). Quando é refletida num limite em que o índice diminui, não há inversão. Aqui:
\;n_{\text{ar}}<n_{\text{filme}}, logo a reflexão no topo sofre inversão de fase ( \pi).
\;n_{\text{filme}}>n_{\text{água}}á, logo a reflexão no fundo NÃO sofre inversão de fase.
Portanto há exatamente uma inversão de fase relativa entre as duas ondas refletidas, ou seja, uma diferença fixa de \pi além da diferença de caminho.

Passo 3

Agora contabilizamos a diferença de fase causada pelo caminho extra dentro do filme. O comprimento de onda da luz dentro do filme é menor que no ar; vale:
\lambda_{\text{filme}}=\frac{\lambda_0}{n_{\text{filme}}}.
A onda que vai até o fundo e volta atravessa espessura 2t no filme, portanto a diferença de fase por caminho é
\Delta\phi_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda_{\text{filme}}}\cdot 2t =\frac{4\pi n_{\text{filme}} t}{\lambda_0}.

Passo 4

Somando a inversão de fase de \pi que ocorre apenas numa das reflexões, a diferença total de fase entre as duas ondas refletidas é
\Delta\phi_{\text{total}}=\Delta\phi_{\text{caminho}}+\pi =\frac{4\pi n_{\text{filme}} t}{\lambda_0}+\pi.
Para que as duas ondas se reforcem (interferência construtiva na reflexão), essa diferença total deve ser um múltiplo inteiro de 2\pi:
\Delta\phi_{\text{total}}=2\pi m,\qquad m=0,1,2,\dots
Substituindo,
\frac{4\pi n_{\text{filme}} t}{\lambda_0}+\pi=2\pi m.
Dividindo por \pi e rearranjando obtemos a condição usual em termos de comprimentos:
2\,n_{\text{filme}}\,t=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda_0,\qquad m=0,1,2,\dots
A menor espessura positiva ocorre para m=0, dando
t_{\min}=\frac{\lambda_0}{4\,n_{\text{filme}}}.

Passo 5

Agora calculamos numericamente com \lambda_0=575\\ \text{nm} e n_{\text{filme}}=1,50:
t_{\min}=\frac{575\\ \text{nm}}{4\cdot 1,50}=\frac{575\\ \text{nm}}{6}=95{,}833\ldots\\ \text{nm}.
Arredondando razoavelmente para uma casa decimal:
t_{\min}\approx 95{,}8\\ \text{nm}.

Passo 6

Resumo rápido e uma palavra de ânimo: a fórmula-chave usada foi t=\lambda/(4n) para o menor máximo de reflexão quando há apenas uma inversão de fase. Se ficou confuso, lembra que a ideia é combinar a inversão de \pi com o atraso por caminho de 2t dentro do filme — se o atraso em termos de ondas for meio comprimento de onda, a inversão + atraso dão fase inteira e as ondas reforçam. Você já tem o resultado prático para decorar e usar na prova!

Resposta

95{,}8\\ \text{nm}

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