Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores \boldsymbol{r}_{1}=\left(0, t^{2}, t^{2}\right), \boldsymbol{r}_{2}=\left(t, t^{3}, 0\right).
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
l) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
m) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
o) Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.

Passo 1

O enunciado dá as posições das duas partículas e pede várias grandezas. Vou listar claramente o que é dado e o que precisa ser calculado (sem resolver nada ainda).
Dado:
\boldsymbol{r}_{1}=(0,\;t^{2},\;t^{2}),\qquad \boldsymbol{r}_{2}=(t,\;t^{3},\;0)
e as duas partículas têm massa \,2\\ \text{kg} cada.
Perguntas:
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
l) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
m) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
o) Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática curta antes de calcular):
  • Velocidade é a derivada temporal da posição: \boldsymbol{v}=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}. Isso significa derivar cada componente em relação a t.
  • Aceleração é a derivada temporal da velocidade (ou segunda derivada da posição): \boldsymbol{a}=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt^{2}}.
  • Quantidade de movimento (momento linear) de uma partícula é \boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}, onde m é a massa e \boldsymbol{v} a velocidade.
  • A soma das forças (força resultante) sobre uma partícula, segundo a segunda lei de Newton, é \sum\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}. Aqui assumimos que as forças efetivas resultam nessa massa vezes aceleração.
  • Posição do centro de massa de duas partículas: \displaystyle \boldsymbol{R}=\frac{m_{1}\boldsymbol{r}_{1}+m_{2}\boldsymbol{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}. Velocidade e aceleração do CM são as derivadas de \boldsymbol{R}.
  • Quantidade de movimento total do sistema é \boldsymbol{P}=\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}. A soma das forças externas sobre o sistema é \displaystyle \sum\boldsymbol{F}_{\text{ext}}=\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} (as forças internas se cancelam em pares).

Passo 3

Calculemos a velocidade e a aceleração da partícula 1, componente a componente.
Posição de 1:
\boldsymbol{r}_{1}=(0,\;t^{2},\;t^{2}).
Derivando cada componente:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(0)=0.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Logo a velocidade é
\boldsymbol{v}_{1}=\left(0,\;2t,\;2t\right).
Agora a aceleração é a derivada de \boldsymbol{v}_{1}:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(0)=0.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(2t)=2.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}(2t)=2.
Logo a aceleração é
\boldsymbol{a}_{1}=\left(0,\;2,\;2\right).

Passo 4

Calculemos a velocidade e a aceleração da partícula 2, componente a componente.
Posição de 2:
\boldsymbol{r}_{2}=(t,\;t^{3},\;0).
Derivando cada componente:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2} (regra da potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}).
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}(0)=0.
Logo a velocidade é
\boldsymbol{v}_{2}=(1,\;3t^{2},\;0).
A aceleração é a derivada de \boldsymbol{v}_{2}:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(1)=0.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(3t^{2})=6t.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}(0)=0.
Logo
\boldsymbol{a}_{2}=(0,\;6t,\;0).

Passo 5

Agora calculamos a quantidade de movimento de cada partícula usando \boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v} com m=2\\ \text{kg}.
Para a partícula 1:
\boldsymbol{p}_{1}=2\,\boldsymbol{v}_{1}=2\,(0,\;2t,\;2t)=(0,\;4t,\;4t)\\ \text{(kg·m/s)}.
Para a partícula 2:
\boldsymbol{p}_{2}=2\,\boldsymbol{v}_{2}=2\,(1,\;3t^{2},\;0)=(2,\;6t^{2},\;0)\\ \text{(kg·m/s)}.

Passo 6

A soma das forças sobre cada partícula (força resultante) vem de \sum\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}.
Para a partícula 1:
\sum\boldsymbol{F}_{1}=2\,\boldsymbol{a}_{1}=2\,(0,\;2,\;2)=(0,\;4,\;4)\\ \text{N}.
Para a partícula 2:
\sum\boldsymbol{F}_{2}=2\,\boldsymbol{a}_{2}=2\,(0,\;6t,\;0)=(0,\;12t,\;0)\\ \text{N}.
Observação rápida: essas são as forças resultantes (netas) que agem nas partículas; se quisermos os “componentes” das forças em cada eixo, já estão explicados.

Passo 7

Agora o centro de massa. Como m_{1}=m_{2}=2\\ \text{kg}, a fórmula simplifica para a média:
\boldsymbol{R}=\frac{2\boldsymbol{r}_{1}+2\boldsymbol{r}_{2}}{4}=\frac{\boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{r}_{2}}{2}.
Somando \boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{r}_{2}:
\boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{r}_{2}=(0+t,\;t^{2}+t^{3},\;t^{2}+0)=(t,\;t^{2}+t^{3},\;t^{2}).
Dividindo por 2:
\boldsymbol{R}=\left(\frac{t}{2},\;\frac{t^{2}+t^{3}}{2},\;\frac{t^{2}}{2}\right).

Passo 8

Velocidade e aceleração do centro de massa: derivamos componente a componente \boldsymbol{R}.
Velocidade do CM:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t}{2}\right)=\dfrac{1}{2}.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t^{2}+t^{3}}{2}\right)=\dfrac{2t+3t^{2}}{2}=\;t+\dfrac{3}{2}t^{2}.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t^{2}}{2}\right)=t.
Portanto
\boldsymbol{V}=\left(\tfrac{1}{2},\;\dfrac{2t+3t^{2}}{2},\;t\right).
Aceleração do CM (derivando \boldsymbol{V}):
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}\right)=0.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{2t+3t^{2}}{2}\right)=\dfrac{2+6t}{2}=1+3t.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}(t)=1.
Logo
\boldsymbol{A}=(0,\;1+3t,\;1).

Passo 9

Quantidade de movimento total do sistema e soma das forças externas.
Quantidade de movimento total:
\boldsymbol{P}=\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}=(0,\;4t,\;4t)+(2,\;6t^{2},\;0)=(2,\;4t+6t^{2},\;4t).
Verificação útil: também vale \boldsymbol{P}=M\,\boldsymbol{V} com M=m_{1}+m_{2}=4. Calculando 4\boldsymbol{V}:
4\boldsymbol{V}=4\left(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{2t+3t^{2}}{2},\;t\right)=(2,\;4t+6t^{2},\;4t),
que coincide com \boldsymbol{P} — ótimo, coerente.
Soma das forças externas sobre o sistema:
A regra é \displaystyle \sum\boldsymbol{F}_{\text{ext}}=\frac{d\boldsymbol{P}}{dt}. Derivando \boldsymbol{P}:
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(2)=0.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(4t+6t^{2})=4+12t.
  • Componente z: \dfrac{d}{dt}(4t)=4.
Logo
\sum\boldsymbol{F}_{\text{ext}}=(0,\;4+12t,\;4).
Também pode-se obter multiplicando M pela aceleração do CM: 4\boldsymbol{A}=4(0,1+3t,1)=(0,4+12t,4), mesma resposta.

Resposta

k) \boldsymbol{v}_{1}=(0,\;2t,\;2t),\quad \boldsymbol{a}_{1}=(0,\;2,\;2) \n
k) \boldsymbol{v}_{2}=(1,\;3t^{2},\;0),\quad \boldsymbol{a}_{2}=(0,\;6t,\;0) \n
l) \boldsymbol{p}_{1}=(0,\;4t,\;4t)\\ \text{(kg·m/s)},\quad \boldsymbol{p}_{2}=(2,\;6t^{2},\;0)\\ \text{(kg·m/s)} \n
m) \sum\boldsymbol{F}_{1}=(0,\;4,\;4)\\ \text{N},\quad \sum\boldsymbol{F}_{2}=(0,\;12t,\;0)\\ \text{N} \n
n) \boldsymbol{R}=\left(\tfrac{t}{2},\;\tfrac{t^{2}+t^{3}}{2},\;\tfrac{t^{2}}{2}\right),\quad \boldsymbol{V}=\left(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{2t+3t^{2}}{2},\;t\right),\quad \boldsymbol{A}=(0,\;1+3t,\;1) \n
o) \boldsymbol{P}=(2,\;4t+6t^{2},\;4t)\\ \text{(kg·m/s)},\quad \sum\boldsymbol{F}_{\text{ext}}=(0,\;4+12t,\;4)\\ \text{N}

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