Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores
.
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
l) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
m) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
o) Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
l) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
m) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
o) Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.
Passo 1
O enunciado dá as posições das duas partículas e pede várias grandezas. Vou listar claramente o que é dado e o que precisa ser calculado (sem resolver nada ainda).
Dado:
e as duas partículas têm massa
cada.
Perguntas:
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
l) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
m) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
o) Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
l) Qual a quantidade de movimento de cada partícula?
m) Qual a soma das forças sobre cada partícula?
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
o) Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática curta antes de calcular):
- Velocidade é a derivada temporal da posição:
. Isso significa derivar cada componente em relação a . - Aceleração é a derivada temporal da velocidade (ou segunda derivada da posição):
. - Quantidade de movimento (momento linear) de uma partícula é
, onde é a massa e a velocidade. - A soma das forças (força resultante) sobre uma partícula, segundo a segunda lei de Newton, é
. Aqui assumimos que as forças efetivas resultam nessa massa vezes aceleração. - Posição do centro de massa de duas partículas:
. Velocidade e aceleração do CM são as derivadas de . - Quantidade de movimento total do sistema é
. A soma das forças externas sobre o sistema é (as forças internas se cancelam em pares).
Passo 3
Calculemos a velocidade e a aceleração da partícula 1, componente a componente.
Posição de 1:
Derivando cada componente:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Logo a velocidade é
Agora a aceleração é a derivada de
:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Logo a aceleração é
Passo 4
Calculemos a velocidade e a aceleração da partícula 2, componente a componente.
Posição de 2:
Derivando cada componente:
- Componente
: . - Componente
: (regra da potência: ). - Componente
: .
Logo a velocidade é
A aceleração é a derivada de
:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Logo
Passo 5
Agora calculamos a quantidade de movimento de cada partícula usando
com
.
Para a partícula 1:
Para a partícula 2:
Passo 6
A soma das forças sobre cada partícula (força resultante) vem de
.
Para a partícula 1:
Para a partícula 2:
Observação rápida: essas são as forças resultantes (netas) que agem nas partículas; se quisermos os “componentes” das forças em cada eixo, já estão explicados.
Passo 7
Agora o centro de massa. Como
, a fórmula simplifica para a média:
Somando
:
Dividindo por
:
Passo 8
Velocidade e aceleração do centro de massa: derivamos componente a componente
.
Velocidade do CM:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Portanto
Aceleração do CM (derivando
):
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Logo
Passo 9
Quantidade de movimento total do sistema e soma das forças externas.
Quantidade de movimento total:
Verificação útil: também vale
com
. Calculando
:
que coincide com
— ótimo, coerente.
Soma das forças externas sobre o sistema:
A regra é . Derivando
:
A regra é
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Logo
Também pode-se obter multiplicando
pela aceleração do CM:
, mesma resposta.
Resposta
k)
\n
k) \n
l) \n
m) \n
n) \n
o)
k)
l)
m)
n)
o)