35.24 •• Vidro antiofuscante. Quando observamos uma obra de arte que está atrás de um vidro, muitas vezes somos ofuscados pela luz que é refletida na superfície frontal do vidro (um clarão), o que pode tornar difícil a contemplação da obra. Uma solução é cobrir a superfície externa do vidro com uma película para reduzir parte desse clarão. (a) Se o vidro tem um índice de refração de 1,62 e você usar \mathrm{TiO}_{2}, que tem um índice de refração igual a 2,62 , como revestimento, qual é a espessura mínima da película que cancelará uma luz de comprimento de onda igual a 505 nm ? (b) Se esse revestimento é fino demais para resistir ao desgaste, que outras espessuras também poderiam ser usadas? Calcule apenas as três menores espessuras.

Passo 1

O enunciado pede (duas perguntas): (a) a espessura mínima da película de \mathrm{TiO}_2 que cancela (por interferência destrutiva) luz de comprimento de onda \,505\\ \text{nm}\, quando aplicada sobre um vidro; (b) outras espessuras possíveis (apenas as três menores).\n
As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{índice do ar: } n_0=1,\\\ &\text{índice do vidro (substrato): } n_2=1{,}62,\\\ &\text{índice do revestimento (}\mathrm{TiO}_2\text{): } n_1=2{,}62,\\\ &\text{comprimento de onda no ar (vacuo): } \lambda_0=505\\ \text{nm}. \end{aligned}ííí

Passo 2

Vamos entender o que causa o cancelamento (uma mini-aula): quando um feixe de luz incide perpendicularmente sobre a película há duas reflexões importantes que se combinam por interferência:
  • r_{01}: reflexão na face ar \to filme;
  • r_{12}: reflexão na face filme \to vidro (substrato).\n
    Cada uma dessas reflexões pode sofrer uma defasagem de \pi (meia-onda) dependendo dos índices. Regra prática (explicação): ao refletir numa interface, a onda sofre uma inversão de fase (defasagem \pi) se ela vem de um meio de menor índice para um meio de maior índice; não há inversão se vem de meio de maior para menor índice. Aqui:
n_0=1 < n_1=2{,}62\quad\Rightarrow\quad r_{01}\\ \text{sofre defasagem } \pi,
n_1=2{,}62 > n_2=1{,}62\quad\Rightarrow\quad r_{12}\\ \text{não sofre defasagem}.ã
Portanto existe uma defasagem adicional total de \pi entre as duas reflexões (apenas uma delas inverte).

Passo 3

Além dessa defasagem por reflexão, a onda refletida internamente percorre ida e volta dentro da película e ganha uma defasagem de caminho. A expressão para a defasagem devida ao percurso é:
\Delta\phi_{\text{caminho}} = \frac{4\pi n_1 t}{\lambda_0},
onde t é a espessura da película, n_1 o índice do filme e \lambda_0 o comprimento de onda no ar. (Derivação curta: a onda percorre 2t no filme; o número de onda no filme é k_1 = 2\pi n_1/\lambda_0; logo 2k_1 t = 4\pi n_1 t/\lambda_0.)

Passo 4

Condição de interferência destrutiva (cancelamento) entre as duas ondas refletidas: a defasagem total entre elas deve ser um múltiplo ímpar de \pi:
\Delta\phi_{\text{total}}=\Delta\phi_{\text{caminho}}+\Delta\phi_{\text{reflexão}}=(2m+1)\pi,\quad m=0,1,2,\dotsã
Aqui \Delta\phi_{\text{reflexão}}=\piã (pois só uma reflexão dá \pi), então substituímos:
\frac{4\pi n_1 t}{\lambda_0} + \pi = (2m+1)\pi.
Cancelando \pi dos dois lados e dividindo por 2 obtemos:
\frac{4\pi n_1 t}{\lambda_0}=2m\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n_1 t}{\lambda_0}=2m.
Isolando t:
t = \frac{m\lambda_0}{2 n_1},\qquad m=1,2,3,\dots
Obs.: o menor m não pode ser 0 (daria t=0, sem película), então o menor caso físico é m=1. Note que por causa da \pi de reflexão a espessura mínima aqui é proporcional a \lambda_0/(2n_1) (metade de comprimento de onda no filme), e não \lambda_0/(4n_1) como ocorre em outros cenários.

Passo 5

Agora aplicamos os números. Primeiro escrevo a fórmula que usarei:
t_m=\frac{m\lambda_0}{2 n_1}.
Com \lambda_0=505\\ \text{nm} e n_1=2{,}62 temos, para m=1:
t_1=\frac{1\cdot 505}{2\cdot 2{,}62}\\ \text{nm}=\frac{505}{5{,}24}\\ \text{nm}.
Faço a divisão:
t_1 \approx 96{,}37\\ \text{nm}.
(Isto é a espessura mínima não nula que produz cancelamento da luz de 505\\ \text{nm}.)

Passo 6

As outras espessuras permitidas vêm dos outros valores inteiros de m. Calculando as três menores (isto é, m=1,2,3):
\begin{aligned} t_1&=\dfrac{1\cdot 505}{2\cdot 2{,}62}\\ \text{nm}\approx 96{,}37\\ \text{nm},\\[6pt] t_2&=\dfrac{2\cdot 505}{2\cdot 2{,}62}\\ \text{nm}=2t_1\approx 192{,}75\\ \text{nm},\\[6pt] t_3&=\dfrac{3\cdot 505}{2\cdot 2{,}62}\\ \text{nm}=3t_1\approx 289{,}12\\ \text{nm}. \end{aligned}]

Resposta

96{,}37\\ \text{nm}
192{,}75\\ \text{nm}
289{,}12\\ \text{nm}

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