35.24 •• Vidro antiofuscante. Quando observamos uma obra de arte que está atrás de um vidro, muitas vezes somos ofuscados pela luz que é refletida na superfície frontal do vidro (um clarão), o que pode tornar difícil a contemplação da obra. Uma solução é cobrir a superfície externa do vidro com uma película para reduzir parte desse clarão. (a) Se o vidro tem um índice de refração de 1,62 e você usar
, que tem um índice de refração igual a 2,62 , como revestimento, qual é a espessura mínima da película que cancelará uma luz de comprimento de onda igual a 505 nm ? (b) Se esse revestimento é fino demais para resistir ao desgaste, que outras espessuras também poderiam ser usadas? Calcule apenas as três menores espessuras.
Passo 1
O enunciado pede (duas perguntas): (a) a espessura mínima da película de
que cancela (por interferência destrutiva) luz de comprimento de onda
quando aplicada sobre um vidro; (b) outras espessuras possíveis (apenas as três menores).\n
As informações fornecidas são:
As informações fornecidas são:
Passo 2
Vamos entender o que causa o cancelamento (uma mini-aula): quando um feixe de luz incide perpendicularmente sobre a película há duas reflexões importantes que se combinam por interferência:
-
: reflexão na face ar filme; -
: reflexão na face filme vidro (substrato).\n
Cada uma dessas reflexões pode sofrer uma defasagem de(meia-onda) dependendo dos índices. Regra prática (explicação): ao refletir numa interface, a onda sofre uma inversão de fase (defasagem ) se ela vem de um meio de menor índice para um meio de maior índice; não há inversão se vem de meio de maior para menor índice. Aqui:
Portanto existe uma defasagem adicional total de
entre as duas reflexões (apenas uma delas inverte).
Passo 3
Além dessa defasagem por reflexão, a onda refletida internamente percorre ida e volta dentro da película e ganha uma defasagem de caminho. A expressão para a defasagem devida ao percurso é:
onde
é a espessura da película,
o índice do filme e
o comprimento de onda no ar. (Derivação curta: a onda percorre
no filme; o número de onda no filme é
; logo
.)
Passo 4
Condição de interferência destrutiva (cancelamento) entre as duas ondas refletidas: a defasagem total entre elas deve ser um múltiplo ímpar de
:
Aqui
(pois só uma reflexão dá
), então substituímos:
Cancelando
dos dois lados e dividindo por
obtemos:
Isolando
:
Obs.: o menor
não pode ser
(daria
, sem película), então o menor caso físico é
. Note que por causa da
de reflexão a espessura mínima aqui é proporcional a
(metade de comprimento de onda no filme), e não
como ocorre em outros cenários.
Passo 5
Agora aplicamos os números. Primeiro escrevo a fórmula que usarei:
Com
e
temos, para
:
Faço a divisão:
(Isto é a espessura mínima não nula que produz cancelamento da luz de
.)
Passo 6
As outras espessuras permitidas vêm dos outros valores inteiros de
. Calculando as três menores (isto é,
):