35.37 • BIO Revestindo lentes de óculos. Lentes de óculos podem ser revestidas nas superfícies internas para reduzir o reflexo da luz casual no olho. Se as lentes são de vidro de cristal com índice de refração de 1,62 e o revestimento for de flúor com índice de refração de 1,432 , (a) qual é a espessura mínima da película necessária nas lentes para cancelar a luz com comprimento de onda de 550 nm refletida em direção ao olho na incidência perpendicular? (b) Outros comprimentos de onda da luz visível serão cancelados ou aumentados na luz refletida?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a espessura mínima da película de flúor necessária para cancelar a luz com comprimento de onda 550\\ \text{nm} refletida de volta ao olho, assumindo incidência perpendicular; (b) se outros comprimentos de onda visíveis também serão cancelados ou aumentados na reflexão.\n
Dados fornecidos:
n_{\text{ar}}=1,\quad n_{\text{revest}}=1{,}432,\quad n_{\text{vidro}}=1{,}62,\quad \lambda_0=550\\ \text{nm}
(nota: \lambda_0 é o comprimento de onda da luz no ar/vácuo).

Passo 2

Conceito físico essencial — interferência em filmes finos (explicação passo a passo, sem pular etapas):
\text{Quando uma onda plana incide perpendicularmente num filme fino, há duas reflexões principais:}áõ
  • a reflexão na face superior (ar \to revestimento), e
  • a reflexão na face inferior (revestimento \to vidro), que volta passando pelo revestimento duas vezes (ida e volta).\n
    Essas duas ondas refletidas se somam (interferem). A condição de interferência construtiva ou destrutiva depende de:
  1. diferença de fase causada pelo caminho extra que a segunda onda percorre dentro do revestimento; e
  2. eventuais deslocamentos de fase (de \pi, isto é meio ciclo) que acontecem quando a luz é refletida de um meio de índice menor para um meio de índice maior.\n
    Explicando a contribuição do caminho: a segunda onda percorre ida e volta dentro do revestimento, totalizando um caminho físico 2t. Em termos de fase isso equivale a uma fase adicional
\Delta\phi_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda_0}\cdot 2 n_{\text{revest}} t=\frac{4\pi n_{\text{revest}} t}{\lambda_0},
onde \lambda_0 é o comprimento de onda no ar e n_{\text{revest}} é o índice do revestimento. (Aqui usamos que dentro do revestimento o comprimento de onda é \lambda_{\text{revest}}=\lambda_0/n_{\text{revest}}, e ao converter para fase usamos \frac{2\pi}{\lambda_{\text{revest}}}\cdot 2t, que dá a expressão acima.)

Passo 3

Efeito das mudanças de fase nas reflexões (tipo de reflexões):
\text{Regra prática: ao refletir de um meio com índice }n_a\text{ para }n_b,áí
  • se n_b>n_a a reflexão sofre uma mudança de fase de \pi (equivalente a meio comprimento de onda);
  • se n_b<n_a não há essa mudança de fase.\n
    No nosso caso:
\text{ar }(n=1)\to\text{revestimento }(n=1{,}432):\text{ ocorre mudança de fase } \pi,ç
\text{revestimento }(n=1{,}432)\to\text{vidro }(n=1{,}62):\text{ também ocorre mudança de fase } \pi.éç
Portanto as duas reflexões sofrem cada uma uma mudança de fase de \pi. Como ambas recebem \pi, a diferença de fase entre as reflexões causada por esses saltos é zero (pois \pi-\pi=0). Isso significa que a única diferença de fase relevante entre os dois raios refletidos é a \Delta\phi_{\text{caminho}} calculada no Passo 2.

Passo 4

Condição para cancelamento (interferência destrutiva) em direção ao olho:
\text{Queremos que as duas ondas refletidas fiquem fora de fase por } \pi \\ (\text{mod }2\pi).
Como a diferença de fase de reflexão é zero, impomos
\Delta\phi_{\text{caminho}}=\frac{4\pi n_{\text{revest}} t}{\lambda_0}=(2m+1)\pi,\quad m=0,1,2,\ldots
Simplificando (dividindo por \pi):
\frac{4 n_{\text{revest}} t}{\lambda_0}=2m+1.
Resolvendo para t:
t=\frac{(2m+1)\lambda_0}{4 n_{\text{revest}}}.
A espessura mínima corresponde a m=0, portanto a espessura mínima (projeto clássico “quarter-wave coating”) é
t_{\min}=\frac{\lambda_0}{4 n_{\text{revest}}}.

Passo 5

Aplicando os números dados:
t_{\min}=\frac{550\\ \text{nm}}{4\cdot 1{,}432}=\frac{550\\ \text{nm}}{5{,}728}\approx 96{,}0\\ \text{nm}.
Cálculo rápido: 4\cdot 1{,}432=5{,}728 e 550/5{,}728\approx 0{,}0960\\ \mu\text{m}=96{,}0\\ \text{nm}.

Passo 6

Resposta qual a espessura mínima e interpretação física:
t_{\min}\approx 96{,}0\\ \text{nm}.
Interpretação: com essa espessura a reflexão proveniente da face superior e a reflexão que sai da face inferior chegam ao olho defasadas de \pi e se anulam (para incidência normal e para \lambda_0=550\\ \text{nm}). Isso reduz muito o brilho refletido nessa cor de projeto.

Passo 7

Quanto a outros comprimentos de onda (parte b) — condição geral de cancelamento e o que ocorre no visível:
A condição de destruição para todo m dá os comprimentos que são cancelados por esse mesmo t:
\lambda_m=\frac{4 n_{\text{revest}} t}{2m+1}.
Se substituirmos t=t_{\min}=\lambda_0/(4 n_{\text{revest}}) obtemos
\lambda_m=\frac{\lambda_0}{2m+1}.
Assim os comprimentos cancelados são \lambda_0, \lambda_0/3, \lambda_0/5,\ldots. No nosso caso, com \lambda_0=550\\ \text{nm}:
m=0:\\\ 550\\ \text{nm} \\ (\text{visível}),\quad m=1:\\ \frac{550}{3}\approx 183\\ \text{nm}\\ (\text{UV}),\\ \text{etc.}í
Portanto, dentre os comprimentos de onda visíveis apenas 550\\ \text{nm} (o projeto) é efetivamente cancelado; os outros comprimentos cancelados caem no ultravioleta e não no espectro visível. Para comprimentos de onda visíveis diferentes de 550\\ \text{nm} a interferência não será totalmente destrutiva — dependendo de quão longe estão de 550\\ \text{nm} a reflexão pode ser parcialmente reduzida ou até aumentada (quando se aproximam da condição de interferência construtiva). Em resumo: o revestimento reduz fortemente a reflexão em torno do comprimento de projeto 550\\ \text{nm}, mas não cancela todos os comprimentos de onda visíveis; alguns comprimentos podem ter reflexão reforçada.

Resposta

(a) t_{\min}\approx 96{,}0\\ \text{nm}\n
(b) Apenas \lambda=550\\ \text{nm} (caso m=0) é cancelada no visível; outros comprimentos cancelados pela mesma espessura satisfazem \lambda=\dfrac{550\\ \text{nm}}{2m+1} (por exemplo m=1\Rightarrow\approx183\\ \text{nm}, no UV). Outros comprimentos visíveis não são totalmente cancelados e alguns podem até ser reforçados dependendo de quão próximos estão da condição de construtiva/destrutiva.

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