36.16 • Uma luz monocromática de comprimento de onda de 592 nm , vinda de uma fonte distante, passa por uma fenda com 0,0290 \mathrm{~mm} de largura. Na figura de difração resultante, a intensidade no centro do máximo central \left(\theta=0^{\circ}\right) é 4,00 \times 10^{-5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Qual é a intensidade em um ponto na tela que corresponde a \theta=1,20^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a intensidade num ponto da figura de difração:
\text{Dados:}\quad \lambda=592\\ \text{nm},\quad a=0{,}0290\\ \text{mm},\quad \theta=1{,}20^\circ,\quad I_0=4{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2}.
Pergunta: qual é a intensidade I(\theta) na tela para \theta=1{,}20^\circ?

Passo 2

A fórmula que descreve a distribuição de intensidade para uma fenda única (difração de Fraunhofer) é
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{2},
onde
\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.
Explicação das variáveis:
\;I(\theta) é a intensidade no ângulo \theta, \;I_0 é a intensidade no centro ( \theta=0), \;a é a largura da fenda, \;\lambda é o comprimento de onda da luz, e \;\beta é uma quantidade adimensional que aparece ao integrar as ondas emitidas por pontos da fenda. A fração \sin\beta/\beta é conhecida como função sinc e determina o envelope da intensidade.

Passo 3

Vamos colocar os dados no mesmo sistema de unidades (metros) e calcular \sin\theta.
a=0{,}0290\\ \text{mm}=2{,}90\times10^{-5}\\ \mathrm{m},
\lambda=592\\ \text{nm}=5{,}92\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\theta=1{,}20^\circ\quad\Rightarrow\quad \theta_{\text{rad}}=1{,}20^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}02094395\\ \text{rad},
\sin\theta=\sin(0{,}02094395)\approx0{,}02094242.

Passo 4

Calcular \beta usando \beta=\dfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.
\frac{a}{\lambda}=\frac{2{,}90\times10^{-5}}{5{,}92\times10^{-7}}=48{,}986486\ldots
\beta=\pi\cdot\frac{a}{\lambda}\cdot\sin\theta =\pi\cdot 48{,}986486\ldots \cdot 0{,}02094242 \approx 3{,}2216.

Passo 5

Calcular a razão \dfrac{\sin\beta}{\beta} e seu quadrado:
\sin\beta=\sin(3{,}2216)\approx -0{,}07993.
Observação rápida: \beta está um pouco maior que \pi, então \sin\beta é negativo; como vamos elevar ao quadrado, a intensidade resultante será positiva.
\frac{\sin\beta}{\beta}\approx\frac{-0{,}07993}{3{,}2216}\approx -0{,}02482,
\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{2}\approx (0{,}02482)^{2}=6{,}16\times10^{-4}.

Passo 6

Agora multiplico pelo I_0 para obter I(\theta):
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{2} =4{,}00\times10^{-5}\times 6{,}16\times10^{-4} \approx 2{,}46\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

2{,}46\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2}

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