II (0,35) A agua se move com uma velocidade 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um cano com uma seção reta de 3,0 \mathrm{~cm}^{2}. A água desce gradualmente 15 menquanto a seção reta aumenta para 9,0 \mathrm{~cm}^{2}. Determine.
a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
b) Se a pressão antes da descida é 1,5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, qual é a pressão depois da descida?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de água incompressível que parte de uma seção reta A_{1}=3{,}0\\ \mathrm{cm}^{2} com velocidade v_{1}=4{,}0\\ \mathrm{m/s}, desce verticalmente 15\\ \mathrm{m} e chega a uma seção maior A_{2}=9{,}0\\ \mathrm{cm}^{2}. O que precisamos usar:
– Equação da continuidade para relacionar v_{1} e v_{2}.
– Equação de Bernoulli para relacionar p_{1} e p_{2}, incluindo variação de altura e energia cinética.

Passo 2

Aplicamos a conservação de vazão volumétrica ( A\,v= constante):
A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}.
Convertendo para o SI:
A_{1}=3{,}0\\ \mathrm{cm}^{2}=3{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2},\quad A_{2}=9{,}0\\ \mathrm{cm}^{2}=9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
Logo,
v_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}}\,v_{1} =\frac{3{,}0\times10^{-4}}{9{,}0\times10^{-4}}\times4{,}0 = \frac{1}{3}\times4{,}0 =1{,}33\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Usamos a equação de Bernoulli entre os pontos 1 (inicial) e 2 (final):
p_{1}+\rho g h_{1}+\tfrac12\,\rho v_{1}^{2} = p_{2}+\rho g h_{2}+\tfrac12\,\rho v_{2}^{2}.
Como o escoamento desce 15\\ \mathrm{m}, temos h_{2}=h_{1}-15. Subtraindo \rho g h_{2} de ambos os lados e isolando p_{2}:
p_{2} = p_{1}+\rho g\,(h_{1}-h_{2}) +\tfrac12\,\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr) = p_{1}+\rho g\,(15) +\tfrac12\,\rho\bigl(4{,}0^{2}-1{,}33^{2}\bigr).

Passo 4

Adotando \rho=1{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\rho g\,(15)=1{,}00\times10^{3}\times9{,}8\times15=1{,}47\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
\tfrac12\,\rho\bigl(4{,}0^{2}-1{,}33^{2}\bigr) =500\bigl(16-1{,}78\bigr)\approx500\times14{,}22=7{,}11\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Como p_{1}=1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, conclui-se
p_{2} =1{,}50\times10^{5} +1{,}47\times10^{5} +0{,}711\times10^{5} \approx3{,}04\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

a) \displaystyle v_{2}=1{,}33\\ \mathrm{m/s}.
b) \displaystyle p_{2}\approx3{,}04\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

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