Uma corda sujeita a uma tensão de 300 N e fixas nas duas extremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por
y=(0,20 m)(\operatorname{sen} \pi x) \cdot \operatorname{sen} 8 \pi t,
onde x=0 em uma das extremidades da corda, x está em metros e t está em segundos. Qual é
a) o comprimento da corda?
b) a velocidade das ondas na corda?
c) a massa da corda?
d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual é o período de oscilação?

Passo 1

O enunciado dá uma corda de tensão T=300\\ \mathrm{N}, presa em x=0 e x=L, oscilando no segundo harmônico de uma onda estacionária com
y(x,t) = (0,20\:\mathrm{m})\,\sin(\pi x)\,\sin(8\pi t).
Aqui vamos usar que, para o n-ésimo harmônico estacionário, a parte espacial é
\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr),
logo o número de onda é k=n\pi/L. Também vamos precisar de
\omega=8\pi,\quad k=\pi,
da relação v=\omega/k, da velocidade de propagação numa corda v=\sqrt{T/\mu}, e da massa total m=\mu L. Por fim, frequência e período estão ligados por f=\omega/(2\pi) e T=1/f.

Passo 2

Para o segundo harmônico n=2 a parte espacial seria \sin(2\pi x/L). Comparando com \sin(\pi x) vemos que
2\pi/L = \pi \quad\Longrightarrow\quad L=2{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 3

O número de onda é k=\pi\\ \mathrm{rad/m} e a frequência angular é \omega=8\pi\\ \mathrm{rad/s}. A velocidade vale
v = \frac{\omega}{k} = \frac{8\pi}{\pi} = 8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Da relação v=\sqrt{T/\mu} isolamos a densidade linear \mu:
\mu = \frac{T}{v^2} = \frac{300}{8^2} = \frac{300}{64} = 4{,}6875\\ \mathrm{kg/m}.
A massa total da corda é
m = \mu\,L = 4{,}6875 \times 2{,}0 = 9{,}375\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

No terceiro harmônico n=3 a frequência é f_3 = n\,\bigl(v/(2L)\bigr). Como v/(2L)=8/(2\cdot2)=2\\ \mathrm{Hz}, temos
f_3 = 3\times 2 = 6\\ \mathrm{Hz},
e o período correspondente é
T_3 = \frac{1}{f_3} = \frac{1}{6}\\ \mathrm{s}\approx0{,}167\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) L=2{,}0\\ \mathrm{m}.
b) v=8\\ \mathrm{m/s}.
c) m=9{,}375\\ \mathrm{kg}.
d) T_3=\tfrac{1}{6}\\ \mathrm{s}\approx0{,}167\\ \mathrm{s}.

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