II. (0,43) Os diâmetros médios de Júpiter e da Terra são 143 \cdot 10^{3} \mathrm{~km} e 12,7 \cdot 10^{3} \mathrm{~km}, respectivamente. A massa de Júpiter é 318 vezes a massa da Terra.
a) Qual é a razão entre a massa específica média (massa por unidade de volume) de Júpiter e a da Terra?
b) Qual é o valor da aceleração gravitacional em Júpiter?
c) Qual é a velocidade de escape em Júpiter?

Passo 1

O enunciado dá os diâmetros médios de Júpiter e da Terra e a razão de massas entre eles, e pede:
a) a razão entre as densidades médias (massa por volume),
b) a aceleração gravitacional na superfície de Júpiter,
c) a velocidade de escape de Júpiter.
O conteúdo envolvido é densidade média de uma esfera, gravitação newtoniana g=GM/R^2 e velocidade de escape v_{\rm esc}=\sqrt{2GM/R}.

Passo 2

A densidade média de um corpo esférico é
\rho = \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}\,.
Para Júpiter sobre Terra temos
\frac{\rho_J}{\rho_E} = \frac{M_J/M_E}{(R_J/R_E)^3} = \frac{318}{\bigl(\tfrac{D_J}{D_E}\bigr)^3} \quad\text{com}\quad \frac{D_J}{D_E}=\frac{143\times10^3}{12,7\times10^3}\approx11{,}26.

Passo 3

Calculando
\bigl(11{,}26\bigr)^3\approx1426 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\rho_J}{\rho_E}\approx\frac{318}{1426}\approx0{,}223.
Logo, Júpiter tem cerca de 0,22 vezes a densidade média da Terra.

Passo 4

A aceleração gravitacional na superfície é
g=\frac{GM}{R^2}.
Fazendo razão com a da Terra:
\frac{g_J}{g_E} = \frac{M_J/M_E}{(R_J/R_E)^2} = \frac{318}{(11{,}26)^2} \approx\frac{318}{126{,}8}\approx2{,}51.
Como g_E\approx9{,}8\rm\\ m/s^2, resulta
g_J\approx2{,}51\times9{,}8\approx24{,}6\rm\\ m/s^2.

Passo 5

A velocidade de escape é
v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}.
Fazendo razão com a da Terra:
\frac{v_{{\rm esc},J}}{v_{{\rm esc},E}} =\sqrt{\frac{M_J/M_E}{R_J/R_E}} =\sqrt{\frac{318}{11{,}26}} \approx\sqrt{28{,}26}\approx5{,}32.
Como v_{{\rm esc},E}\approx11{,}2\rm\\ km/s, temos
v_{{\rm esc},J}\approx5{,}32\times11{,}2\approx59{,}6\rm\\ km/s.

Resposta

a) \rho_J/\rho_E\approx0,22
b) g_J\approx24,6\rm\\ m/s^2
c) v_{{\rm esc},J}\approx60\rm\\ km/s

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