F(x, y, z) & =3 x^2 y z z-2 y^2 z+e^2 x k f(x, y, z) & =x^2 y^3+5 y^3 z^4
calcular rotacional

Passo 1

Temos o enunciado: calcular o rotacional do campo vetorial F(x,y,z)=3x^2yz,i-2y^2z,j+e^2x,k. O conteúdo é rotacional (curl) de um campo vetorial, e vamos precisar usar a definição nablatimesF via derivadas parciais.

Passo 2

Vamos identificar as componentes do campo: F=P,i+Q,j+R,k, com P=3x^2yz, Q=-2y^2z e R=e^2x. A definição do rotacional em coordenadas cartesianas é
nablatimesF= i&j&k partialx&partialy&partialz P&Q&R

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
Ry=partial e^2xpartial y=0, Qz=partial(-2y^2z)partial z=-2y^2,
Pz=partial(3x^2yz)partial z=3x^2y, Rx=partial e^2xpartial x=2e^2x,
Qx=partial(-2y^2z)partial x=0, Py=partial(3x^2yz)partial y=3x^2z

Passo 4

Substituindo na fórmula nablatimesF=(Ry-Qz),i+(Pz-Rx),j+(Qx-Py),k, obtemos
nablatimesF=(0-(-2y^2)),i+(3x^2y-2e^2x),j+(0-3x^2z),k

Resposta

nablatimesF=2y^2,i+(3x^2y-2e^2x),j-3x^2z,k.

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