integralgamma[cos (2 x)+7 y] d x+[2 x+sin (y)] d y, onde gamma é a elipse x^29+y^24=1, orientada no
sentido horário

Passo 1

No enunciado precisamos calcular a integral de linha integralgamma[cos(2x)+7y],dx+[2x+sin(y)],dy, sobre a elipse x^2/9+y^2/4=1 orientada no sentido horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna D delimitada pela elipse.

Passo 2

Identificamos as funções P(x,y)=cos(2x)+7y e Q(x,y)=2x+sin(y). Em seguida, calculamos as derivadas parciais necessárias: partial Q/partial x=2 e partial P/partial y=7.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para orientação anti-horária temos ointgammaP,dx+Q,dy=integral duplaD(partial Q/partial x-partial P/partial y),dA. Como gamma é percorrida no sentido horário, invertemos o sinal: ointgammaP,dx+Q,dy=-integral duplaD(partial Q/partial x-partial P/partial y),dA.

Passo 4

Substituindo partial Q/partial x-partial P/partial y=2-7=-5, obtemos ointgammaP,dx+Q,dy=-integral duplaD(-5),dA=5integral duplaDdA.

Passo 5

A região D é a elipse de semi-eixos a=3 e b=2, cuja área é
Área(D)=pi ab=picdot3cdot2=6piÁ

Passo 6

Portanto,
ointgamma[cos(2x)+7y],dx+[2x+sin(y)],dy=5times6pi=30pi

Resposta

30\pi

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