Seja R a região plana limitada por y=arcsin (-x), y=pi2 e x=1. Se a densidade é rho(x, y)=k, (k>0), então a massa e o centro de massa de R são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas
b. pi k e (14,-2pi)
c. pi k e (-14,-2pi)
d. pi k e (14, 2pi)
e. pi k e (-14, 2pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região plana delimitada por três curvas: , e . A densidade nessa região é constante, (onde ). Nosso objetivo é calcular a massa dessa região e o centro de massa dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente as fórmulas para massa e centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a massa da região M = integral duplaR rho(x, y) , dA . A massa M = k integral duplaR , dA = k cdot Área de R é dada pela integral dupla da densidade sobre a região:
Como a densidade é constante, pode tirar o da integral:
Á
Então, precisamos encontrar a área da região .

Passo 3

Vamos esboçar as curvas que delimitam :
  1. : Essa é a função arco seno invertida. O domínio dela é , e como temos um , ela será simétrica em relação ao eixo .
  2. : Uma linha horizontal constante.
  3. : Uma linha vertical.
Observando essas curvas, percebemos que a região está limitada entre e , entre e .

Passo 4

Para calcular a área de Área = integral-1^1 ( pi2 - arcsin(-x) ) dx , vamos integrar em relação a Área = integral-1^1 ( pi2 + arcsin(x) ) dx de a , e para cada , integrar em relação a de a :
Á
Mas , então:
Á

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Área = integral-1^1 pi2 dx + integral-1^1 arcsin(x) dx Á
Primeira parte:
integral-1^1 pi2 dx = pi2 cdot (1 - (-1)) = pi2 cdot 2 = pi
Segunda parte:
Sabemos que integral-1^1 arcsin(x) dx = 0 é uma função ímpar, ou seja, Área = pi + 0 = pi . Assim, a integral de de a é zero:
Então, a área é:
Á

Passo 6

Agora que temos a área, podemos calcular a massa M = k cdot Área = k cdot pi = pi k :
Á

Passo 7

Vamos agora encontrar o centro de massa x = 1M integral duplaR x rho(x, y) , dA . As fórmulas são:
y = 1M integral duplaR y rho(x, y) , dA
x = kM integral duplaR x , dA = kpi k integral duplaR x , dA = 1pi integral duplaR x , dA
Como y = kM integral duplaR y , dA = kpi k integral duplaR y , dA = 1pi integral duplaR y , dA , podemos simplificar:

Passo 8

Vamos calcular integral duplaR x , dA = integral-1^1 integralarcsin(-x)^pi2 x , dy , dx = integral-1^1 x ( pi2 - arcsin(-x) ) dx :
= integral-1^1 x ( pi2 + arcsin(x) ) dx
Como antes, = pi2 integral-1^1 x , dx + integral-1^1 x arcsin(x) , dx :
pi2 integral-1^1 x , dx = pi2 [ x^22 ]-1^1 = pi2 ( 12 - 12 ) = 0
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
integral-1^1 x arcsin(x) , dx = 0
A primeira parte:
integral duplaR x , dA = 0
A segunda parte, por simetria, também será zero, já que x = 1pi cdot 0 = 0 é uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico:
Então:
Portanto:

Passo 9

Agora, vamos calcular integral duplaR y , dA = integral-1^1 integralarcsin(-x)^pi2 y , dy , dx :
= integral-1^1 [ y^22 ]arcsin(-x)^pi2 dx = integral-1^1 ( pi^28 - arcsin^2(-x)2 ) dx
Integrando em relação a = integral-1^1 ( pi^28 - arcsin^2(x)2 ) dx :
integral duplaR y , dA = pi^24 - 4
Novamente, y = 1pi ( pi^24 - 4 ) = pi4 - 4pi , e y = -2pi :
Essa integral pode ser resolvida, e após os cálculos, o resultado é:
Assim:
Simplificando:

Resposta

b. e

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