Seja a região plana limitada por e . Se a densidade é , , então a massa e o centro de massa de são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas
b. e
c. e
d. e
e. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região plana delimitada por três curvas: , e . A densidade nessa região é constante, (onde ). Nosso objetivo é calcular a massa dessa região e o centro de massa dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente as fórmulas para massa e centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a massa da região . A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região:
Como a densidade é constante, pode tirar o da integral:
Então, precisamos encontrar a área da região .
Passo 3
Vamos esboçar as curvas que delimitam :
: Essa é a função arco seno invertida. O domínio dela é , e como temos um , ela será simétrica em relação ao eixo .
: Uma linha horizontal constante.
: Uma linha vertical.
Observando essas curvas, percebemos que a região está limitada entre e , entre e .
Passo 4
Para calcular a área de , vamos integrar em relação a de a , e para cada , integrar em relação a de a :
Mas , então:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Primeira parte:
Segunda parte:
Sabemos que é uma função ímpar, ou seja, . Assim, a integral de de a é zero:
Então, a área é:
Passo 6
Agora que temos a área, podemos calcular a massa :
Passo 7
Vamos agora encontrar o centro de massa . As fórmulas são:
y = 1M integral duplaR y rho(x, y) , dA
x = kM integral duplaR x , dA = kpi k integral duplaR x , dA = 1pi integral duplaR x , dA
Como y = kM integral duplaR y , dA = kpi k integral duplaR y , dA = 1pi integral duplaR y , dA , podemos simplificar:
Passo 8
Vamos calcular integral duplaR x , dA = integral-1^1 integralarcsin(-x)^pi2 x , dy , dx = integral-1^1 x ( pi2 - arcsin(-x) ) dx :
= integral-1^1 x ( pi2 + arcsin(x) ) dx
Como antes, = pi2 integral-1^1 x , dx + integral-1^1 x arcsin(x) , dx :