F(x, y, z)=3 x^2 y z i-2 y^2 z j+e^2 x k
f(x, y, z)=x^2 y^3+5 y^3 z^4
c.) caluluar laplaciano

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular o laplaciano da função escalar f(x,y,z)=x^2y^3+5y^3z^4. O laplaciano de uma função escalar é definido como a soma das segundas derivadas parciais em relação a cada variável, isto é, nabla^2 f=partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x=2xy^3,
partial fpartial y=3x^2y^2+15y^2z^4,
partial fpartial z=20y^3z^3

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 fpartial x^2=2y^3,
partial^2 fpartial y^2=6x^2y+30yz^4,
partial^2 fpartial z^2=60y^3z^2

Passo 4

Somar as segundas derivadas parciais para obter o laplaciano:
nabla^2 f=2y^3+6x^2y+30yz^4+60y^3z^2

Resposta

nabla^2 f = 2y^3 + 6x^2y + 30yz^4 + 60y^3z^2

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