Calcule a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelas curvas
e
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c. Nenhuma das Respostas
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c. Nenhuma das Respostas
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
,
e
. Esse tipo de problema envolve cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas, volumes e outras quantidades em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região
onde vamos integrar. Temos três curvas:
-
: É uma parábola voltada para baixo com vértice em . -
: É a função raiz quadrada multiplicada por 3, válida para . -
: É o eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para entender os limites de integração.
Passo 3
Encontrando os pontos de interseção:
-
Entre
e : Igualando as duas equações:Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, mas tomando cuidado com possíveis soluções extranhas. No entanto, testando: Então,é uma solução. -
Entre
e : Comosó existe para , consideramos .
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Dividindo a região
:
A região
está dividida em duas partes:
- De
a : A função de cima é e a de baixo é . - De
a : A função de cima é e a de baixo ainda é .
Isso facilita a configuração das integrais.
Passo 5
Configurando a integral dupla:
Vamos dividir a integral em duas partes conforme as subdivisões da região
:
Passo 6
Calculando a primeira integral (
de 0 a 1):
Integramos em relação a
primeiro:
Agora, multiplicamos por
e integramos em relação a
:
Passo 7
Calculando a segunda integral (
de 1 a 2):
Integramos em relação a
:
Expandindo
:
Agora, multiplicamos por
e integramos:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Passo 8
Somando as duas integrais:
Resposta
A resposta correta é a letra b.
.