Calcule a integral dupla integral duplaD x y d x d y, onde D é a região delimitada pelas curvas y=-x^2+4, y=3 raizx e y=0.
Escolha uma opção:
a. 318
b. 154
c. Nenhuma das Respostas
d. 158
e. 415

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas , e . Esse tipo de problema envolve cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas, volumes e outras quantidades em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região onde vamos integrar. Temos três curvas:
  1. : É uma parábola voltada para baixo com vértice em .
  2. : É a função raiz quadrada multiplicada por 3, válida para .
  3. : É o eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para entender os limites de integração.

Passo 3

Encontrando os pontos de interseção:
  • Entre -x^2 + 4 = 3raizx e -1 + 4 = 3 times 1 Rightarrow 3 = 3 :
    Igualando as duas equações:
    -x^2 + 4 = 0 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
    Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, mas tomando cuidado com possíveis soluções extranhas. No entanto, testando :
    Então, é uma solução.
  • Entre e :
    Como só existe para , consideramos .
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Dividindo a região :
A região está dividida em duas partes:
  1. De a : A função de cima é e a de baixo é .
  2. De a : A função de cima é e a de baixo ainda é .
Isso facilita a configuração das integrais.

Passo 5

Configurando a integral dupla:
Vamos dividir a integral em duas partes conforme as subdivisões da região integral duplaD x y , dx , dy = integral0^1 integral0^3raizx x y , dy , dx + integral1^2 integral0^-x^2 + 4 x y , dy , dx :

Passo 6

Calculando a primeira integral ( integral0^1 integral0^3raizx x y , dy , dx de 0 a 1):
integral0^3raizx y , dy = [y^22]0^3raizx = (3raizx)^22 = 9x2
Integramos em relação a integral0^1 x cdot 9x2 , dx = 92 integral0^1 x^2 , dx = 92 [x^33]0^1 = 92 cdot 13 = 32 primeiro:
Agora, multiplicamos por e integramos em relação a :

Passo 7

Calculando a segunda integral ( integral1^2 integral0^-x^2 + 4 x y , dy , dx de 1 a 2):
integral0^-x^2 + 4 y , dy = [y^22]0^-x^2 + 4 = (-x^2 + 4)^22
Integramos em relação a (-x^2 + 4)^2 = x^4 - 8x^2 + 16 :
12 integral1^2 x (x^4 - 8x^2 + 16) , dx = 12 integral1^2 (x^5 - 8x^3 + 16x) , dx
Expandindo 12 [ x^66 - 2x^4 + 8x^2 ]1^2 :
12 [ 646 - 2 cdot 16 + 8 cdot 4 ] = 12 [ 323 - 32 + 32 ] = 12 cdot 323 = 163
Agora, multiplicamos por 12 [ 16 - 2 cdot 1 + 8 cdot 1 ] = 12 [ 16 - 2 + 8 ] = 12 cdot 376 = 3712 e integramos:
163 - 3712 = 6412 - 3712 = 2712 = 94
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo:

Passo 8

Somando as duas integrais:
32 + 94 = 64 + 94 = 154

Resposta

A resposta correta é a letra b. .

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