Calcule a integral abaixo:
, onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa calcular
depois de onde E é a parte do interior da esfera unitária
no primeiro octante. O conteúdo aqui envolve mudanças para coordenadas esféricas e o uso de substituição para integrar a parte radial.
Passo 2
Passo de conversão para coordenadas esféricas: definimos
com
Nosso integrando vira
e a integral sobre o primeiro octante tem limites
Passo 3
Passo de separação em parciais e cálculo das integrais angulares: escrevendo
a parte angular se separa em
Passo 4
Passo de cálculo da integral radial: define
, logo
e
Passo 5
Passo final: juntando tudo dá