Calcule a integral abaixo:
integral triplaE x e^(x^2+y^2+z^2)^2 d V, onde E é a porção da bola unitária x^2+y^2+z^2 <= 1 que fica no primeiro octante.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular
I=integral triplaE x,e^(x^2+y^2+z^2)^2 ,dV
depois de onde E é a parte do interior da esfera unitária x^2+y^2+z^2<=1 no primeiro octante. O conteúdo aqui envolve mudanças para coordenadas esféricas e o uso de substituição para integrar a parte radial.

Passo 2

Passo de conversão para coordenadas esféricas: definimos
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
com
dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Nosso integrando vira
x,e^(x^2+y^2+z^2)^2=rhosinvarphicostheta,e^rho^4,
e a integral sobre o primeiro octante tem limites
0<=rho<=1,0<=varphi<=tfracpi2,0<=theta<=tfracpi2

Passo 3

Passo de separação em parciais e cálculo das integrais angulares: escrevendo
I=integral0^1integral0^pi2integral0^pi2rho^3,e^rho^4sin^2varphicostheta,dtheta,dvarphi,drho,
a parte angular se separa em
Itheta=integral0^pi2costheta,dtheta=1,
Ivarphi=integral0^pi2sin^2varphi,dvarphi=integral0^pi21-cos2varphi2,dvarphi=pi4

Passo 4

Passo de cálculo da integral radial: define u=rho^4, logo du=4rho^3,drho e
Irho=integral0^1rho^3,e^rho^4,drho=14integral0^1e^u,du=e-14

Passo 5

Passo final: juntando tudo dá
I=Irhotimes Ivarphitimes Itheta=e-14timespi4times1=pi( e-1)16

Resposta

pi,(e-1)16

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