-35 Deseja-se revestir uma placa de vidro (
) com um filme de material transparente (
) para que a reflexão de uma luz com um comprimento de onda de 600 nm seja eliminada por interferência. Qual é a menor espessura possível do filme?
-36 Uma película de sabão
com 600 nm de espessura é iluminada perpendicularmente com luz branca. Para quantos comprimentos de onda diferentes na faixa de 300 a 700 nm a luz refletida apresenta (a) interferência construtiva total e (b) interferência destrutiva total?
-36 Uma película de sabão
Passo 1
Enunciados e dados (vou listar tudo explicitamente para não esquecer nada):
-
Questão -35: Deseja-se revestir uma placa de vidro com um filme de material transparente para eliminar por interferência a luz de comprimento de onda
. Dados: índice do vidro , índice do filme , comprimento de onda no ar . Pergunta: qual é a menor espessura possível do filme que elimina a reflexão? -
Questão -36: Uma película de sabão com índice
e espessura é iluminada perpendicularmente com luz branca. Faixa de interesse: até . Perguntas:
(a) Para quantos comprimentos de onda diferentes nessa faixa a luz refletida apresenta interferência construtiva total?
(b) Para quantos comprimentos de onda diferentes nessa faixa a luz refletida apresenta interferência destrutiva total?
Observações importantes (dados implícitos que estou usando): a luz incide do ar (
) sobre o filme e as interferências de interesse são as da luz refletida pelas duas superfícies do filme; incidência é perpendicular (normal), portanto não precisamos separar componentes polarizadas.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas): quando um feixe incide sobre um filme fino, parte da luz é refletida na face superior (ar→filme) e parte entra no filme e é refletida na face inferior (filme→substrato ou filme→ar) e retorna. Essas duas ondas refletidas podem interferir construtiva ou destrutivamente dependendo da diferença de fase entre elas. Essa diferença de fase tem duas contribuições:
- diferença de fase geométrica devido ao caminho extra percorrido dentro do filme (ida e volta);
- possíveis mudanças de fase de
(meia onda) que ocorrem ao refletir quando a luz vai de um meio de menor índice para um de maior índice.
Vou formalizar isso passo a passo.
Passo 3
Fase geométrica (caminho óptico) detalhada: se o filme tem índice
e espessura
, a luz que entra sofre ida e volta dentro do filme, ou seja percorre comprimento físico total
no filme. O comprimento de onda dentro do filme é
, onde
é o comprimento de onda no ar (ou vácuo). A diferença de fase causada por esse percurso extra vale:
Explicação das variáveis:
é o comprimento de onda no ar (dado),
é o índice do filme,
é a espessura do filme. A expressão aparece porque fase por comprimento
vale
, e usamos
e
.
Passo 4
Fases por reflexão: regra prática (e muito usada em provas):
- Ao refletir de um meio com índice
para um meio com índice maior , a onda sofre uma inversão de fase de (equivalente a meio comprimento de onda). - Ao refletir de um meio para um meio com índice menor
, não há inversão de fase (fase zero).
Portanto, conte quantas inversões de
ocorrem nas duas reflexões e calcule a diferença de fase entre elas. Essa diferença de fase por reflexão será
se ambas sofrem a mesma inversão (0 ou
ambas), ou
se só uma sofre inversão.
Passo 5
Combinação total da fase entre as duas ondas refletidas: a diferença de fase total é
Condições de interferência (normalmente usadas em prova):
- Interferência construtiva (reflexões reforçam):
, com inteiro. - Interferência destrutiva (reflexões se anulam):
, com inteiro.
Vamos aplicar isso em cada problema.
Passo 6
Resolvendo a questão -35 — identificar os saltos de fase por reflexão:
- Reflexão superior: ar (
) → filme ( ) é de menor para maior índice ⇒ há inversão de fase . - Reflexão inferior: filme (
) → vidro ( ) também é de menor para maior índice ⇒ há inversão de fase .
Portanto, as duas reflexões têm a mesma inversão. Assim
Passo 7
Ainda para -35: escrever a condição para eliminação da reflexão (queremos que as ondas refletidas se cancelem — interferência destrutiva).
Com , a condição de destruição é
Com
Dividindo ambos os lados por
e resolvendo para
:
Passo 8
Escolher a menor espessura positiva: tomar
(menor inteiro que dá espessura positiva). Então
Substituir
e
:
Interpretação prática: um filme com espessura
produzirá interferência destrutiva nas reflexões para
, eliminando a reflexão nessa cor.
Passo 9
Agora resolvendo a questão -36 — identificar saltos de fase:
Película de sabão isolada no ar, então:
Película de sabão isolada no ar, então:
- Reflexão superior: ar (
) → sabão ( ) ⇒ inversão de fase . - Reflexão inferior: sabão (
) → ar ( ) ⇒ sem inversão de fase.
Logo a diferença de fase por reflexão entre as duas ondas é
Passo 10
Escrever a diferença de fase total para o filme de sabão:
onde agora
,
. Para conveniência calculemos
e
(valores em nm):
Esses números vão simplificar as fórmulas a seguir.
Passo 11
Condições para a reflexão:
- Interferência construtiva (reflexão máxima):
. Substituindo:
Isolando
:
Com
, obtemos
para
. Precisamos contar quantos desses
caem na faixa
.
Passo 12
Determinar os
que produzem
na faixa para construtiva:
Resolver .
Invertendo (e lembrando que ):
Resolver
Invertendo (e lembrando que
Somando 1 e dividindo por 2:
Portanto inteiros possíveis são
. Agora calcule os comprimentos correspondentes:
-
. -
. -
. -
.
Todos estão entree . Logo há 4 comprimentos de onda com interferência construtiva na reflexão.
Passo 13
Condições para a reflexão destrutiva:
Destrutiva ocorre quando . Substituindo:
Destrutiva ocorre quando
Isolando
:
Com
, fica
para
. Precisamos contar quantos desses valores estão entre
e
.
Passo 14
Determinar os
que produzem
na faixa para destrutiva:
Resolver . Invertendo:
Resolver
Portanto inteiros possíveis são
. Calcular os comprimentos:
-
. -
. -
.
Todos estão na faixa pedida. Logo há 3 comprimentos de onda com interferência destrutiva na reflexão.
Passo 15
Resumo interpretativo e incentivo final: concluímos de forma direta aplicando as regras de inversão de fase nas reflexões e a conta da diferença de fase geométrica. Se ficar nervoso na prova, lembra: identifique quais reflexões deram
e quais não, calcule
e aplique as fórmulas que derivamos — isso é sufuciente para resolver quase todas as questões de filmes finos em incidência normal. Você se saiu bem só chegando até aqui 😃
Resposta
-35:
-36 (a):
comprimentos de onda —
-36 (b):
comprimentos de onda —