-35 Deseja-se revestir uma placa de vidro ( n=1,50 ) com um filme de material transparente ( n=1,25 ) para que a reflexão de uma luz com um comprimento de onda de 600 nm seja eliminada por interferência. Qual é a menor espessura possível do filme?
-36 Uma película de sabão (n=1,40) com 600 nm de espessura é iluminada perpendicularmente com luz branca. Para quantos comprimentos de onda diferentes na faixa de 300 a 700 nm a luz refletida apresenta (a) interferência construtiva total e (b) interferência destrutiva total?

Passo 1

Enunciados e dados (vou listar tudo explicitamente para não esquecer nada):
  • Questão -35: Deseja-se revestir uma placa de vidro com um filme de material transparente para eliminar por interferência a luz de comprimento de onda 600\\ \text{nm}. Dados: índice do vidro n_{\text{vidro}}=1,50, índice do filme n_{\text{filme}}=1,25, comprimento de onda no ar \lambda_0=600\\ \text{nm}. Pergunta: qual é a menor espessura possível do filme que elimina a reflexão?
  • Questão -36: Uma película de sabão com índice n_{\text{sabão}}=1,40ã e espessura t=600\\ \text{nm} é iluminada perpendicularmente com luz branca. Faixa de interesse: 300\\ \text{nm} até 700\\ \text{nm}. Perguntas:
    (a) Para quantos comprimentos de onda diferentes nessa faixa a luz refletida apresenta interferência construtiva total?
    (b) Para quantos comprimentos de onda diferentes nessa faixa a luz refletida apresenta interferência destrutiva total?
Observações importantes (dados implícitos que estou usando): a luz incide do ar ( n_{\text{ar}}\approx1,00) sobre o filme e as interferências de interesse são as da luz refletida pelas duas superfícies do filme; incidência é perpendicular (normal), portanto não precisamos separar componentes polarizadas.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas): quando um feixe incide sobre um filme fino, parte da luz é refletida na face superior (ar→filme) e parte entra no filme e é refletida na face inferior (filme→substrato ou filme→ar) e retorna. Essas duas ondas refletidas podem interferir construtiva ou destrutivamente dependendo da diferença de fase entre elas. Essa diferença de fase tem duas contribuições:
  1. diferença de fase geométrica devido ao caminho extra percorrido dentro do filme (ida e volta);
  2. possíveis mudanças de fase de \pi (meia onda) que ocorrem ao refletir quando a luz vai de um meio de menor índice para um de maior índice.
Vou formalizar isso passo a passo.

Passo 3

Fase geométrica (caminho óptico) detalhada: se o filme tem índice n e espessura t, a luz que entra sofre ida e volta dentro do filme, ou seja percorre comprimento físico total 2t no filme. O comprimento de onda dentro do filme é \lambda=\dfrac{\lambda_0}{n}, onde \lambda_0 é o comprimento de onda no ar (ou vácuo). A diferença de fase causada por esse percurso extra vale:
\Delta\phi_{\text{caminho}} = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot 2t = \frac{2\pi}{\lambda_0}\cdot 2 n t.
Explicação das variáveis: \lambda_0 é o comprimento de onda no ar (dado), n é o índice do filme, t é a espessura do filme. A expressão aparece porque fase por comprimento L vale \frac{2\pi}{\lambda}\,L, e usamos L=2t e \lambda=\lambda_0/n.

Passo 4

Fases por reflexão: regra prática (e muito usada em provas):
  • Ao refletir de um meio com índice n_1 para um meio com índice maior n_2>n_1, a onda sofre uma inversão de fase de \pi (equivalente a meio comprimento de onda).
  • Ao refletir de um meio para um meio com índice menor n_2<n_1, não há inversão de fase (fase zero).
Portanto, conte quantas inversões de \pi ocorrem nas duas reflexões e calcule a diferença de fase entre elas. Essa diferença de fase por reflexão será \Delta\phi_{\text{ref}}=0 se ambas sofrem a mesma inversão (0 ou \pi ambas), ou \Delta\phi_{\text{ref}}=\pi se só uma sofre inversão.

Passo 5

Combinação total da fase entre as duas ondas refletidas: a diferença de fase total é
\Delta\varphi = \Delta\phi_{\text{caminho}} + \Delta\phi_{\text{ref}} = \frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \Delta\phi_{\text{ref}}.
Condições de interferência (normalmente usadas em prova):
  • Interferência construtiva (reflexões reforçam): \Delta\varphi = 2m\pi, com m inteiro.
  • Interferência destrutiva (reflexões se anulam): \Delta\varphi = (2m+1)\pi, com m inteiro.
    Vamos aplicar isso em cada problema.

Passo 6

Resolvendo a questão -35 — identificar os saltos de fase por reflexão:
  • Reflexão superior: ar ( n=1{,}00) → filme ( n=1{,}25) é de menor para maior índice ⇒ há inversão de fase \pi.
  • Reflexão inferior: filme ( n=1{,}25) → vidro ( n=1{,}50) também é de menor para maior índice ⇒ há inversão de fase \pi.
    Portanto, as duas reflexões têm a mesma inversão. Assim
\Delta\phi_{\text{ref}} = \pi - \pi = 0.

Passo 7

Ainda para -35: escrever a condição para eliminação da reflexão (queremos que as ondas refletidas se cancelem — interferência destrutiva).
Com \Delta\phi_{\text{ref}}=0, a condição de destruição é
\frac{4\pi n t}{\lambda_0} = (2m+1)\pi.
Dividindo ambos os lados por \pi e resolvendo para t:
4 n t = (2m+1)\lambda_0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{(2m+1)\lambda_0}{4 n}.

Passo 8

Escolher a menor espessura positiva: tomar m=0 (menor inteiro que dá espessura positiva). Então
t_{\min} = \frac{\lambda_0}{4 n}.
Substituir \lambda_0=600\\ \text{nm} e n=1{,}25:
t_{\min} = \frac{600\\ \text{nm}}{4\cdot 1{,}25} = \frac{600}{5}\\ \text{nm} = 120\\ \text{nm}.
Interpretação prática: um filme com espessura 120\\ \text{nm} produzirá interferência destrutiva nas reflexões para \lambda_0=600\\ \text{nm}, eliminando a reflexão nessa cor.

Passo 9

Agora resolvendo a questão -36 — identificar saltos de fase:
Película de sabão isolada no ar, então:
  • Reflexão superior: ar ( n=1{,}00) → sabão ( n=1{,}40) ⇒ inversão de fase \pi.
  • Reflexão inferior: sabão ( n=1{,}40) → ar ( n=1{,}00) ⇒ sem inversão de fase.
    Logo a diferença de fase por reflexão entre as duas ondas é
\Delta\phi_{\text{ref}} = \pi - 0 = \pi.

Passo 10

Escrever a diferença de fase total para o filme de sabão:
\Delta\varphi = \frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \pi,
onde agora n=1{,}40, t=600\\ \text{nm}. Para conveniência calculemos 2 n t e 4 n t (valores em nm):
2 n t = 2\cdot 1{,}40 \cdot 600 = 1680\\ \text{nm},
4 n t = 2\cdot (2 n t) = 3360\\ \text{nm}.
Esses números vão simplificar as fórmulas a seguir.

Passo 11

Condições para a reflexão:
  • Interferência construtiva (reflexão máxima): \Delta\varphi = 2m\pi. Substituindo:
\frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \pi = 2m\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n t}{\lambda_0} = 2m - 1.
Isolando \lambda_0:
\lambda_0 = \frac{4 n t}{2m-1}.
Com 4 n t = 3360\\ \text{nm}, obtemos
\lambda_0 = \frac{3360\\ \text{nm}}{2m-1},
para m=1,2,3,\dots. Precisamos contar quantos desses \lambda_0 caem na faixa 300\\ \text{nm} \le \lambda_0 \le 700\\ \text{nm}.

Passo 12

Determinar os m que produzem \lambda_0 na faixa para construtiva:
Resolver 300 \le \frac{3360}{2m-1} \le 700.
Invertendo (e lembrando que 2m-1>0):
\frac{3360}{700} \le 2m-1 \le \frac{3360}{300}
4{,}8 \le 2m-1 \le 11{,}2.
Somando 1 e dividindo por 2:
2{,}9 \le m \le 6{,}1.
Portanto inteiros possíveis são m=3,4,5,6. Agora calcule os comprimentos correspondentes:
  • m=3:\\ \lambda_0 = \dfrac{3360}{5} = 672\\ \text{nm}.
  • m=4:\\ \lambda_0 = \dfrac{3360}{7} \approx 480\\ \text{nm}.
  • m=5:\\ \lambda_0 = \dfrac{3360}{9} \approx 373{,}33\\ \text{nm}.
  • m=6:\\ \lambda_0 = \dfrac{3360}{11} \approx 305{,}45\\ \text{nm}.
    Todos estão entre 300 e 700\\ \text{nm}. Logo há 4 comprimentos de onda com interferência construtiva na reflexão.

Passo 13

Condições para a reflexão destrutiva:
Destrutiva ocorre quando \Delta\varphi = (2m+1)\pi. Substituindo:
\frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \pi = (2m+1)\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n t}{\lambda_0} = 2m.
Isolando \lambda_0:
\lambda_0 = \frac{4 n t}{2m} = \frac{2 n t}{m}.
Com 2 n t = 1680\\ \text{nm}, fica
\lambda_0 = \frac{1680\\ \text{nm}}{m},
para m=1,2,3,\dots. Precisamos contar quantos desses valores estão entre 300\\ \text{nm} e 700\\ \text{nm}.

Passo 14

Determinar os m que produzem \lambda_0 na faixa para destrutiva:
Resolver 300 \le \dfrac{1680}{m} \le 700. Invertendo:
\frac{1680}{700} \le m \le \frac{1680}{300}
2{,}4 \le m \le 5{,}6.
Portanto inteiros possíveis são m=3,4,5. Calcular os comprimentos:
  • m=3:\\ \lambda_0 = \dfrac{1680}{3} = 560\\ \text{nm}.
  • m=4:\\ \lambda_0 = \dfrac{1680}{4} = 420\\ \text{nm}.
  • m=5:\\ \lambda_0 = \dfrac{1680}{5} = 336\\ \text{nm}.
    Todos estão na faixa pedida. Logo há 3 comprimentos de onda com interferência destrutiva na reflexão.

Passo 15

Resumo interpretativo e incentivo final: concluímos de forma direta aplicando as regras de inversão de fase nas reflexões e a conta da diferença de fase geométrica. Se ficar nervoso na prova, lembra: identifique quais reflexões deram \pi e quais não, calcule 2 n t e aplique as fórmulas que derivamos — isso é sufuciente para resolver quase todas as questões de filmes finos em incidência normal. Você se saiu bem só chegando até aqui 😃

Resposta

-35: t_{\min}=120\\ \text{nm}
-36 (a): 4 comprimentos de onda — 672\\ \text{nm},\\\ 480\\ \text{nm},\\\ 373{,}33\\ \text{nm},\\\ 305{,}45\\ \text{nm}
-36 (b): 3 comprimentos de onda — 560\\ \text{nm},\\\ 420\\ \text{nm},\\\ 336\\ \text{nm}

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