- Uma partícula move-se ao longo do eixo x. Sua velocidade varia com o tempo de acordo com a função
, onde
são constantes. No instante
, a partícula está em
. Determine a posição e a aceleração da partícula no instante em que a velocidade for
.
Passo 1
Enunciado sintetizado (o que o problema dá e o que pede):
- A velocidade da partícula é dada por
, onde e são constantes. - No instante
a partícula está em . - Pede-se: determinar a posição e a aceleração da partícula no instante em que a velocidade vale
.
Dados relevantes listados:, condição inicial , e a condição que define o instante de interesse é .
Passo 2
Encontrar o instante
tal que a velocidade seja
. Começamos da equação
Dividindo os dois lados por
(assumindo
) obtemos
Para isolar
usamos logaritmo natural. Lembrando que
e
, temos
Multiplicando por
,
Comentário rápido:
é a função inversa da exponencial; sempre que temos
podemos aplicar
para trazer o expoente para fora.
Passo 3
Determinar a aceleração geral
como derivada da velocidade. Por definição de cinemática unidimensional,
Calculamos a derivada de
. Regra de derivação de exponencial: se
então
. Aqui
. Logo
Observação útil: podemos escrever
, porque
. Isso mostra que a aceleração é proporcional e oposta à velocidade — a partícula está desacelerando.
Passo 4
Avaliar a aceleração no instante
. Já vimos em Passo 2 que em
vale
. Substituindo em
:
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a aceleração tem sentido oposto à velocidade (a partícula está diminuindo sua velocidade).
Passo 5
Determinar a posição geral
integrando a velocidade. Por definição,
Fazendo a integral: a primitiva de
é
(pois a derivada de
é
). Então
onde
é a constante de integração. Usamos a condição inicial
para achar
:
Portanto a posição em função do tempo é
Breve interpretação: conforme
,
e
(deslocamento limite).
Passo 6
Avaliar a posição no instante
. Usamos novamente
na expressão de
:
Interpretação: no instante em que a velocidade caiu para metade de
, a partícula já percorreu metade do deslocamento assintótico
.