1. Uma partícula move-se ao longo do eixo x. Sua velocidade varia com o tempo de acordo com a função v(t)=v_{0} e^{-t / T}, onde v_{0} e T são constantes. No instante \mathrm{t}=0, a partícula está em \mathrm{x}=0. Determine a posição e a aceleração da partícula no instante em que a velocidade for v_{0} / 2.

Passo 1

Enunciado sintetizado (o que o problema dá e o que pede):
  • A velocidade da partícula é dada por \,v(t)=v_{0}e^{-t/T}\,, onde \,v_{0}\, e \,T\, são constantes.
  • No instante \,t=0\, a partícula está em \,x=0\,.
  • Pede-se: determinar a posição e a aceleração da partícula no instante em que a velocidade vale \,v_{0}/2\,.
    Dados relevantes listados: \,v(t)=v_{0}e^{-t/T}\,, condição inicial \,x(0)=0\,, e a condição que define o instante de interesse é \,v(t)=v_{0}/2\,.

Passo 2

Encontrar o instante \,t^{*}\, tal que a velocidade seja \,v_{0}/2. Começamos da equação
v_{0}e^{-t^{*}/T}=\frac{v_{0}}{2}.
Dividindo os dois lados por \,v_{0}\, (assumindo \,v_{0}\neq0\;) obtemos
e^{-t^{*}/T}=\frac{1}{2}.
Para isolar \,t^{*}\, usamos logaritmo natural. Lembrando que \ln(e^{u})=u e \ln(1/2)=-\ln 2, temos
-t^{*}/T=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Multiplicando por -T,
t^{*}=T\ln 2.
Comentário rápido: \ln é a função inversa da exponencial; sempre que temos e^{\text{algo}}=\text{const} podemos aplicar \ln para trazer o expoente para fora.

Passo 3

Determinar a aceleração geral \,a(t)\, como derivada da velocidade. Por definição de cinemática unidimensional,
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Calculamos a derivada de \,v(t)=v_{0}e^{-t/T}\,. Regra de derivação de exponencial: se f(t)=e^{kt} então f'(t)=k e^{kt}. Aqui k=-1/T. Logo
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(v_{0}e^{-t/T}\bigr)=v_{0}\cdot\left(-\frac{1}{T}\right)e^{-t/T}=-\frac{v_{0}}{T}e^{-t/T}.
Observação útil: podemos escrever \,a(t)=-\dfrac{1}{T}v(t)\,, porque v(t)=v_{0}e^{-t/T}. Isso mostra que a aceleração é proporcional e oposta à velocidade — a partícula está desacelerando.

Passo 4

Avaliar a aceleração no instante \,t^{*}=T\ln 2. Já vimos em Passo 2 que em t^{*} vale e^{-t^{*}/T}=1/2. Substituindo em a(t):
a(t^{*})=-\frac{v_{0}}{T}\,e^{-t^{*}/T}=-\frac{v_{0}}{T}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{v_{0}}{2T}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a aceleração tem sentido oposto à velocidade (a partícula está diminuindo sua velocidade).

Passo 5

Determinar a posição geral \,x(t)\, integrando a velocidade. Por definição,
x(t)=\int v(t)\,dt=\int v_{0}e^{-t/T}\,dt.
Fazendo a integral: a primitiva de e^{-t/T} é -T e^{-t/T} (pois a derivada de -T e^{-t/T} é -T)\cdot(-1/T)e^{-t/T}=e^{-t/T}). Então
x(t)=v_{0}\cdot\bigl(-T e^{-t/T}\bigr)+C=-v_{0}T e^{-t/T}+C,
onde \,C\, é a constante de integração. Usamos a condição inicial \,x(0)=0\, para achar \,C:
0=x(0)=-v_{0}T e^{0}+C=-v_{0}T+C \quad\Rightarrow\quad C=v_{0}T.
Portanto a posição em função do tempo é
x(t)=v_{0}T\bigl(1-e^{-t/T}\bigr).
Breve interpretação: conforme t\to\infty, e^{-t/T}\to0 e x(t)\to v_{0}T (deslocamento limite).

Passo 6

Avaliar a posição no instante \,t^{*}. Usamos novamente e^{-t^{*}/T}=1/2 na expressão de x(t):
x(t^{*})=v_{0}T\bigl(1-e^{-t^{*}/T}\bigr)=v_{0}T\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=\frac{v_{0}T}{2}.
Interpretação: no instante em que a velocidade caiu para metade de \,v_{0}\,, a partícula já percorreu metade do deslocamento assintótico v_{0}T.

Resposta

\,x=\dfrac{v_{0}T}{2}\,
\,a=-\dfrac{v_{0}}{2T}\,

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