Uma rede de difração com 180 ranhuras/mm é iluminada com uma luz que contém apenas dois comprimentos de onda, \lambda_{1}= 400 nm e \lambda_{2}=500 \mathrm{~nm}. O sinal incide perpendicularmente na rede. (a) Qual é a maior ordem de difração para a qual máximos associados aos dois comprimentos de onda estão presentes na figura de difração? (b) Quanto vale a dispersão da rede para a primeira ordem de difração do comprimento de onda \lambda_{1} ? Sabendo que a rede tem 1 cm de largura e que todas as ranhuras são iluminadas no experimento, quanto qual é a resolução dessa rede para a segunda ordem de difração do comprimento de onda \lambda_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:\n
  • Densidade de ranhuras: 180 ranhuras/ \mathrm{mm}.\n
  • Dois comprimentos de onda: \lambda_{1}=400\\ \mathrm{nm} e \lambda_{2}=500\\ \mathrm{nm}.\n
  • Incidência perpendicular (ou seja, ângulo de incidência =0).\n
  • Largura iluminada da rede: 1\\ \mathrm{cm} e todas as ranhuras dessa largura são iluminadas.\n
    Perguntas:\n
    (a) Qual a maior ordem de difração para a qual aparecem máximos associados aos dois comprimentos de onda?\n
    (b) Qual a dispersão da rede para a primeira ordem do comprimento de onda \lambda_{1}?\n
    (b, continuação) Qual a resolução da rede para a segunda ordem do comprimento de onda \lambda_{2}?\n

Passo 2

Apresento a equação fundamental da rede de difração (essa é a lei que relaciona passo da rede, ângulo e comprimento de onda):\n
d\sin\theta = m\lambda\n
Explicando cada termo: \n
  • d é o espaçamento entre ranhuras (passo da rede), ou seja, a distância entre duas ranhuras vizinhas.\n
  • \theta é o ângulo de difração relativo à normal.\n
  • m é a ordem de difração (inteiro: 0, \pm1, \pm2,\dots).\n
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.\n
    Para que um máximo de ordem m exista fisicamente precisamos ter |\sin\theta|\le 1, o que da a condição\n
m\lambda \le d.\n
Portanto, fixando d, o maior m permitido para um dado \lambda é o maior inteiro \le d/\lambda.

Passo 3

Calculo do passo d da rede a partir da densidade dada: a densidade é 180 ranhuras/ \mathrm{mm}, logo\n
d=\frac{1}{180}\\ \mathrm{mm}.\n
Converto para unidades mais convenientes (metros ou nanómetros): \n
d=\frac{1}{180}\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=5{,}555555\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=5555{,}555\ldots\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Para a pergunta (a) queremos a maior ordem m para a qual ambos os comprimentos de onda têm máximos — ou seja, m deve satisfazer simultaneamente m\lambda_{1}\le d e m\lambda_{2}\le d. Como \lambda_{2}>\lambda_{1}, a condição limitante é a de \lambda_{2}. Assim o maior m é o maior inteiro menor ou igual a d/\lambda_{2}.\n
Agora calculo numericamente:\n
\frac{d}{\lambda_{2}}=\frac{5555{,}555\ldots\\ \mathrm{nm}}{500\\ \mathrm{nm}}=11{,}11111\ldots\n
O maior inteiro \le 11{,}111\ldots é 11. Logo a maior ordem em que aparecem máximos para ambos os comprimentos de onda é m_{\max}=11.

Passo 5

Agora passo para a dispersão pedida em (b). A definição de dispersão angular da rede é \mathrm{d}\theta/\mathrm{d}\lambda. Parto da equação da rede e derivo em relação a \lambda (mantendo m e d fixos):\n
d\cos\theta\;\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\lambda}=m\n
portanto\n
\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\lambda}=\frac{m}{d\cos\theta}.\n
Explico: isso dá quanto o ângulo \theta muda quando o comprimento de onda muda. As unidades ficam rad/m (se \lambda em metros) ou rad/nm (se \lambda em nanómetros).

Passo 6

Aplicamos a fórmula para a primeira ordem ( m=1) e para \lambda_{1}=400\\ \mathrm{nm}. Primeiro preciso do ângulo \theta nessa ordem: da equação da rede\n
\sin\theta=\frac{m\lambda_{1}}{d}=\frac{1\times 400\\ \mathrm{nm}}{5555{,}555\ldots\\ \mathrm{nm}}=0{,}072.\n
Calculo aproximado de \theta: para \sin\theta=0{,}072 tem-se \theta\approx 0{,}07206\\ \mathrm{rad} (cerca de 4{,}13^\circ).\n
Agora calculo \cos\theta: usando \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}, \n
\cos\theta\approx\sqrt{1-0{,}072^{2}}\approx 0{,}99740.\n
Substituindo em \mathrm{d}\theta/\mathrm{d}\lambda:\n
\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\lambda}=\frac{1}{d\cos\theta} =\frac{1}{5{,}555555\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\times 0{,}99740}\approx 1{,}804\times10^{5}\\ \mathrm{rad/m}.\n
Para expressar de forma prática em rad por nanómetro (mais comum em espectroscopia), multiplico por 1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}/\mathrm{nm}:\n
\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\lambda}\approx 1{,}804\times10^{5}\times10^{-9}=1{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}/\mathrm{nm}.\n
Em graus por nanómetro isso vale aproximadamente\n
1{,}80\times10^{-4}\times\frac{180}{\pi}\approx 1{,}03\times10^{-2}\\ ^\circ/\mathrm{nm}.

Passo 7

Agora resolvendo a segunda parte de (b): resolução da rede na segunda ordem para \lambda_{2}=500\\ \mathrm{nm}. A expressão padrão para o poder de resolução de uma rede é\n
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN,\n
onde N é o número de ranhuras iluminadas e m é a ordem. Explico: R é o número adimensional que indica \lambda/\Delta\lambda (quanto maior, melhor a capacidade de distinguir dois comprimentos de onda próximos).\n
Calculamos N: a densidade é 180 ranhuras/ \mathrm{mm}, que é 1800 ranhuras/ \mathrm{cm}. Com largura iluminada 1\\ \mathrm{cm} temos\n
N=1800.\n
Na segunda ordem ( m=2) temos\n
R=mN=2\times 1800=3600.\n
Se quiser o menor intervalo de comprimento de onda que a rede pode separar em \lambda_{2}, calcula-se \Delta\lambda=\lambda/R:\n
\Delta\lambda=\frac{500\\ \mathrm{nm}}{3600}\approx 0{,}139\\ \mathrm{nm}.

Passo 8

Recapitulando numericamente e de forma clara:\n
  • Maior ordem em que ambos os comprimentos de onda apresentam máximos: m_{\max}=11.\n
  • Dispersão angular para m=1 e \lambda_{1}=400\\ \mathrm{nm}: \mathrm{d}\theta/\mathrm{d}\lambda\approx 1{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}/\mathrm{nm} (ou \approx 1{,}03\times10^{-2}\\ ^\circ/\mathrm{nm}).\n
  • Resolução na segunda ordem para \lambda_{2}=500\\ \mathrm{nm}: R=3600, correspondendo a \Delta\lambda\approx 0{,}139\\ \mathrm{nm}.

Resposta

(a) 11\n
(b) \displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\lambda}\approx 1{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}/\mathrm{nm} (para m=1,\\ \lambda_{1}=400\\ \mathrm{nm}); resolução: R=3600 e \Delta\lambda\approx 0{,}139\\ \mathrm{nm} (para m=2,\\ \lambda_{2}=500\\ \mathrm{nm}).

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