Uma rede de difração com 180 ranhuras/mm é iluminada com uma luz que contém apenas dois comprimentos de onda,
400 nm e
. O sinal incide perpendicularmente na rede. (a) Qual é a maior ordem de difração para a qual máximos associados aos dois comprimentos de onda estão presentes na figura de difração? (b) Quanto vale a dispersão da rede para a primeira ordem de difração do comprimento de onda
? Sabendo que a rede tem 1 cm de largura e que todas as ranhuras são iluminadas no experimento, quanto qual é a resolução dessa rede para a segunda ordem de difração do comprimento de onda
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:\n
- Densidade de ranhuras:
ranhuras/ .\n - Dois comprimentos de onda:
e .\n - Incidência perpendicular (ou seja, ângulo de incidência
).\n - Largura iluminada da rede:
e todas as ranhuras dessa largura são iluminadas.\n
Perguntas:\n
(a) Qual a maior ordem de difração para a qual aparecem máximos associados aos dois comprimentos de onda?\n
(b) Qual a dispersão da rede para a primeira ordem do comprimento de onda?\n
(b, continuação) Qual a resolução da rede para a segunda ordem do comprimento de onda?\n
Passo 2
Apresento a equação fundamental da rede de difração (essa é a lei que relaciona passo da rede, ângulo e comprimento de onda):\n
Explicando cada termo: \n
-
é o espaçamento entre ranhuras (passo da rede), ou seja, a distância entre duas ranhuras vizinhas.\n -
é o ângulo de difração relativo à normal.\n -
é a ordem de difração (inteiro: ).\n -
é o comprimento de onda da luz.\n
Para que um máximo de ordemexista fisicamente precisamos ter , o que da a condição\n
Portanto, fixando
, o maior
permitido para um dado
é o maior inteiro
.
Passo 3
Calculo do passo
da rede a partir da densidade dada: a densidade é
ranhuras/
, logo\n
Converto para unidades mais convenientes (metros ou nanómetros): \n
Passo 4
Para a pergunta (a) queremos a maior ordem
para a qual ambos os comprimentos de onda têm máximos — ou seja,
deve satisfazer simultaneamente
e
. Como
, a condição limitante é a de
. Assim o maior
é o maior inteiro menor ou igual a
.\n
Agora calculo numericamente:\n
Agora calculo numericamente:\n
O maior inteiro
é
. Logo a maior ordem em que aparecem máximos para ambos os comprimentos de onda é
.
Passo 5
Agora passo para a dispersão pedida em (b). A definição de dispersão angular da rede é
. Parto da equação da rede e derivo em relação a
(mantendo
e
fixos):\n
portanto\n
Explico: isso dá quanto o ângulo
muda quando o comprimento de onda muda. As unidades ficam rad/m (se
em metros) ou rad/nm (se
em nanómetros).
Passo 6
Aplicamos a fórmula para a primeira ordem (
) e para
. Primeiro preciso do ângulo
nessa ordem: da equação da rede\n
Calculo aproximado de
: para
tem-se
(cerca de
).\n
Agora calculo : usando
, \n
Agora calculo
Substituindo em
:\n
Para expressar de forma prática em rad por nanómetro (mais comum em espectroscopia), multiplico por
:\n
Em graus por nanómetro isso vale aproximadamente\n
Passo 7
Agora resolvendo a segunda parte de (b): resolução da rede na segunda ordem para
. A expressão padrão para o poder de resolução de uma rede é\n
onde
é o número de ranhuras iluminadas e
é a ordem. Explico:
é o número adimensional que indica
(quanto maior, melhor a capacidade de distinguir dois comprimentos de onda próximos).\n
Calculamos : a densidade é
ranhuras/
, que é
ranhuras/
. Com largura iluminada
temos\n
Calculamos
Na segunda ordem (
) temos\n
Se quiser o menor intervalo de comprimento de onda que a rede pode separar em
, calcula-se
:\n
Passo 8
Recapitulando numericamente e de forma clara:\n
- Maior ordem em que ambos os comprimentos de onda apresentam máximos:
.\n - Dispersão angular para
e : (ou ).\n - Resolução na segunda ordem para
: , correspondendo a .
Resposta
(a)
\n
(b) (para
); resolução:
e
(para
).
(b)