5.35 •• PC Distância de freada. (a) Se o coeficiente de atrito cinético entre os pneus e um pavimento seco for de 0,80 , qual é a menor distância para fazer um carro parar travando o freio, quando o carro se desloca a 28,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ? (b) Sobre um pavimento molhado, o coeficiente de atrito cinético se reduz a 0,25 . A que velocidade você poderia dirigir no pavimento molhado para que o carro parasse na mesma distância calculada em (a)? (Nota: travar os freios não é a maneira mais segura de parar.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá estes dados:
  • (a) Qual é a menor distância para parar o carro quando os pneus têm coeficiente de atrito cinético \mu_k=0{,}80 e a velocidade inicial é v_0=28{,}7\\ \mathrm{m/s}.
  • (b) Se o pavimento molhado reduz o coeficiente para \mu_k=0{,}25, qual velocidade v no pavimento molhado levaria ao mesmo espaço de frenagem encontrado em (a).
Informações numéricas fornecidas:
\mu_{k,\text{seco}}=0{,}80,\quad \mu_{k,\text{molhado}}=0{,}25,\quad v_0=28{,}7\\ \mathrm{m/s}.
Vou usar a aproximação padrão para a aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicando cada termo):
  • Quando os freios travam, os pneus deslizam e a força de atrito cinético é a responsável por desacelerar o carro.
  • A força de atrito cinético tem intensidade F_{\text{at}}=\mu_k N. Aqui N é a força normal; para um carro em superfície horizontal N=mg, onde m é a massa do carro e g é a aceleração da gravidade.
  • A desaceleração (aceleração negativa) causada pelo atrito é
a=\frac{F_{\text{at}}}{m}=\frac{\mu_k mg}{m}=\mu_k g.
Como a força atua no sentido oposto ao movimento, o valor real da aceleração é a=-\mu_k g. Explico as variáveis:
  • a é a aceleração (em \mathrm{m/s^2});
  • \mu_k é o coeficiente de atrito cinético (adimensional);
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • Para um movimento com aceleração constante podemos usar a equação cinemática que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento:
v_f^2 = v_i^2 + 2 a \Delta x,
onde:
  • v_f é a velocidade final,
  • v_i é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração constante,
  • \Delta x é o deslocamento (a distância de frenagem que queremos).
Para uma parada completa temos v_f=0. Substituindo a=-\mu_k g e v_f=0 obtemos a fórmula prática para a distância de frenagem:
0 = v_0^2 + 2(-\mu_k g)\Delta x \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{v_0^2}{2\mu_k g}.
Expliquei cada passo: derivamos a a partir da força de atrito e depois usamos a equação de movimento com aceleração constante para isolar \Delta x.

Passo 3

Agora cálculo numérico para (a). Primeiro calculo v_0^2:
v_0^2 = (28{,}7)^2 = 823{,}69\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Substituo na fórmula \Delta x=\dfrac{v_0^2}{2\mu_k g} com \mu_k=0{,}80 e g=9{,}8:
\Delta x = \frac{823{,}69}{2\cdot 0{,}80\cdot 9{,}8}.
Calculo o denominador:
2\cdot 0{,}80\cdot 9{,}8 = 1{,}6\cdot 9{,}8 = 15{,}68.
Portanto
\Delta x = \frac{823{,}69}{15{,}68}\approx 52{,}53\\ \mathrm{m}.
Interpretação final: no pavimento seco com \mu_k=0{,}80 e v_0=28{,}7\\ \mathrm{m/s} o carro precisa de cerca de 52{,}5\\ \mathrm{m} para parar travando os freios.

Passo 4

Agora (b): queremos a velocidade v no pavimento molhado ( \mu_k'=0{,}25) que dá a mesma distância de frenagem \Delta x calculada em (a).
Usamos a mesma fórmula para a nova velocidade:
\Delta x = \frac{v^2}{2\mu_k' g}.
Como queremos que essa \Delta x seja igual à da parte (a), podemos igualar as duas expressões:
\frac{v_0^2}{2\mu_k g} = \frac{v^2}{2\mu_k' g}.
Os fatores 2 e g cancelam, ficando
\frac{v_0^2}{\mu_k} = \frac{v^2}{\mu_k'}.
Isolando v:
v = v_0\sqrt{\frac{\mu_k'}{\mu_k}}.
Observação didática: isso mostra que, para manter a mesma distância de parada, a velocidade escala com a raiz quadrada da razão entre os coeficientes de atrito.

Passo 5

Cálculo numérico de v. Substituo v_0=28{,}7\\ \mathrm{m/s}, \mu_k'=0{,}25, \mu_k=0{,}80:
v = 28{,}7\sqrt{\frac{0{,}25}{0{,}80}} = 28{,}7\sqrt{0{,}3125}.
Calculo \sqrt{0{,}3125}. Note que 0{,}3125=\dfrac{5}{16}, então
\sqrt{0{,}3125} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}\approx 0{,}55902.
Portanto
v \approx 28{,}7\times 0{,}55902 \approx 16{,}04\\ \mathrm{m/s}.
Como referência prática, em quilômetros por hora isso é
16{,}04\\ \mathrm{m/s}\times 3{,}6 \approx 57{,}7\\ \mathrm{km/h}.
Comentário amigo: ou seja, na pista molhada (mais escorregadia) você teria que reduzir bem a velocidade para ter a mesma folga de parada — isso mostra por que chuva é perigosa.

Resposta

(a) 52{,}53\\ \mathrm{m}
(b) 16{,}04\\ \mathrm{m/s}

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