Um gás não ideal obedece às seguintes equações de estado:
onde
e c são constantes não negativas. O gás está inicialmente no estado com volume
pressão
.
a) Qual é a unidade das constantes? Para quais valores das constantes o gás em questão se torna ideal?
b) Determine a temperatura do gás no estado inicial.
c) A partir do estado inicial, o gás realiza uma expansão livre até atingir o volume
. Qual é a pressão
e a temperatura
do gás no estado final?
d) Em seguida, o gás é aquecido a volume constante até que sua pressão volte ao valor inicial
. Determine a sua temperatura.
a) Qual é a unidade das constantes? Para quais valores das constantes o gás em questão se torna ideal?
b) Determine a temperatura do gás no estado inicial.
c) A partir do estado inicial, o gás realiza uma expansão livre até atingir o volume
d) Em seguida, o gás é aquecido a volume constante até que sua pressão volte ao valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá, para um gás (por mol):
onde
,
e
são constantes não negativas. O gás está inicialmente no estado com volume
e pressão
. As perguntas são:
a) Quais são as unidades das constantes
,
e
? Para quais valores de
o gás se torna ideal?
b) Determinar a temperatura do gás no estado inicial (isto é,
em função de
e
e das constantes).
c) O gás sofre uma expansão livre até
. Determinar a pressão
e a temperatura
no estado final.
d) Em seguida, o gás é aquecido a volume constante
até que sua pressão volte a
. Determinar a temperatura final (vou chamar de
).
Observação: vou assumir a convenção usual de termos por mol:
é volume molar (unidade
),
é energia interna molar (unidade
),
em kelvin e
em pascal. Se você usa outras unidades, as fórmulas continuam válidas, só mudam as unidades numéricas.]
Passo 2
Unidades — vamos deduzir passo a passo, lembrando as unidades básicas:
-
tem unidade de pressão: pascal ( ). -
tem unidade kelvin ( ). -
tem unidade de volume por mol: . -
tem unidade de energia por mol: . -
tem unidade .
Agora analisamos cada constante:
- Unidade de
. Da expressão , o termo deve ter unidades de . Assim
Interpretando fisicamente,
é a capacidade térmica molar (do tipo
quando
depende só de
).
- Unidade de
. Do mesmo -termo, deve ter unidade . Como tem unidade , temos
Verificação alternativa usando a equação de pressão: o termo
deve ter unidade de pressão
. Como
tem unidade
, a unidade de
é
. Mas lembrando
, isso é equivalente a
. Mesma coisa.
- Unidade de
. Em aparece , logo tem a mesma unidade que :
Resposta parcial de unidade pronta.
Passo 3
Para quais valores das constantes o gás se torna ideal?
O gás ideal deve satisfazer duas propriedades clássicas (no modelo molar):
- A energia interna molar
depende apenas de (não de ). Na nossa expressão , a dependência em só some se . Portanto é necessário . - A equação de estado deve reduzir-se a
. A equação dada é . Para obter precisamos de e .
Portanto o gás torna-se ideal quando
enquanto
permanece igual à capacidade molar (não precisa ser zero):
finito (por exemplo
).
Passo 4
Temperatura inicial
.
Usamos a equação de estado no estado inicial, com
e
:
Isolando
,
então
Essa é a temperatura inicial em função de
e das constantes.
Passo 5
Expansão livre até
(ou
) — determinar
.
Lembrete físico (puro e direto): numa expansão livre (Joule expansion) para um gás isolado que se expande para um compartimento evacuado, não há troca de calor com o entorno (
) e não se realiza trabalho útil pelo gás sobre o entorno (o trabalho de fronteira é nulo porque a pressão externa é zero). Portanto a variação da energia interna é zero:
Como estamos usando grandezas molares, isso significa
. Agora use a expressão de
:
Isolando
,
e então
Agora substituímos
para obter uma forma mais explícita:
Logo
Observação física: se
(interação atrativa típica), a temperatura cai durante a expansão livre; se
(caso ideal),
como esperado.
Passo 6
Determinar a pressão
no estado final após a expansão livre.
Usamos a equação de estado com
e
:
Substituindo a expressão de
obtida no passo anterior, uma forma útil é
Se quiseres uma expressão ainda mais explícita com
, basta substituir
e
da fórmula do Passo 4. Para ficar claro, usando
e a expressão de
obtemos
E
pode ser trocado pela expressão em termos de
e
do Passo 4, se você quiser tudo em função apenas de
.
Passo 7
Aquecimento a volume constante
até que a pressão volte a
— determinar
.
Agora o processo é isocórico (volume fixo =
). Queremos
tal que
. Use a equação de estado:
Isolando
,
portanto
Note que esta expressão tem a mesma forma que
do Passo 4, simplesmente trocando
por
.
Fisicamente, como o gás perdeu ou ganhou energia interna na expansão livre conforme o termo
, é preciso aquecer para restaurar a pressão inicial;
normalmente será diferente de
dependendo de
.
Resposta
a)
O gás é ideal quando
e
.
b)
c)
(para
fica
).\n
(equivalente à forma com
se desejar).
d)