Um pequeno carro guiado por controle remoto possui massa de 1,60 \mathrm{~kg} e se move com velocidade constante v=12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um círculo vertical no interior de um cilindro metálico oco de raio igual a 5,00 \mathrm{~m} (Figura E5.45). Qual é o módulo da força normal exercida pela parede do cilindro sobre o carro no ponto B (no topo do círculo vertical)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o módulo da força normal que a parede do cilindro exerce sobre o carro no ponto B (no topo do círculo vertical).\n
Dados fornecidos:
m=1,60\\ \mathrm{kg}
v=12,0\\ \mathrm{m/s}
r=5,00\\ \mathrm{m}
Não há outras informações no enunciado; usamos g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão da aceleração da gravidade).

Passo 2

Descrevendo as forças no ponto B (topo do círculo): o carro está colado na parede interna do cilindro, então atuam sobre ele duas forças principais na direção vertical (radial, em relação ao centro do círculo):
  • o peso, apontando para baixo, com módulo mg;
  • a força normal da parede sobre o carro, que, por o carro estar dentro do cilindro, também aponta para baixo no topo (isto é, em direção ao centro do círculo).\n
    Como ambas as forças apontam para o mesmo lado (para o centro), ambas contribuem para fornecer a aceleração centrípeta necessária.

Passo 3

Lembrando o conceito chave: para um movimento circular uniforme de raio r e velocidade escalar v, a aceleração centrípeta (a aceleração dirigida ao centro do círculo) tem módulo dado por
a_{c}=\frac{v^{2}}{r}.
Explicação breve e intuitiva: essa fórmula vem da necessidade de mudar continuamente a direção da velocidade; o termo v^{2}/r mede quão forte deve ser a “curvatura” da aceleração para manter a partícula seguindo o círculo. As unidades conferem: \mathrm{m^{2}/s^{2}} dividido por \mathrm{m} \mathrm{m/s^{2}}, que é unidade de aceleração.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (positivo para o centro): a soma das componentes das forças na direção do centro deve ser igual a m a_{c}. No topo isso dá
N + mg = m a_{c}.
Aqui N é o módulo da força normal (apontando para baixo, mesma direção do centro no topo) e mg é o peso (também para baixo). Escolhemos essa soma porque ambas atuam para o centro.

Passo 5

Isolando N obtemos a expressão que vamos usar:
N = m\frac{v^{2}}{r} - mg.
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo.
Primeiro calcule v^{2}:
v^{2}=(12,0)^{2}=144\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora m\frac{v^{2}}{r}:
m\frac{v^{2}}{r} = 1,60\cdot\frac{144}{5,00}.
Calcule a fração:
\frac{144}{5,00}=28,8.
Então
m\frac{v^{2}}{r}=1,60\cdot 28,8 = 46,08\\ \mathrm{N}.
Calcule o peso mg:
mg = 1,60\cdot 9,80 = 15,68\\ \mathrm{N}.
Agora subtraímos:
N = 46,08 - 15,68 = 30,40\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados), escrevemos N=30,4\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Verificação rápida de coerência: N>0, então a parede realmente empurra o carro para manter o movimento. Se a velocidade fosse muito pequena, poderíamos ter N\le 0, o que significaria que o carro perderia contato (situação física diferente). O valor mínimo de velocidade para manter contato no topo é obtido impondo N=0:
0 = m\frac{v_{\min}^{2}}{r} - mg \implies v_{\min}=\sqrt{rg}.
Substituindo r=5,00 e g=9,80 v_{\min}=\sqrt{49}=7,00\\ \mathrm{m/s}. Nosso v=12,0\\ \mathrm{m/s} é bem maior, então faz sentido haver normal positiva.

Resposta

30,4\\ \mathrm{N}

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