A equação de estado de Dieterici é dada por:
a) Mostre que as constantes críticas de uma substância que obedece a equação de Dieterici são,
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE
b) Encontre
para gases obedecendo a equação de Dieterici.
Passo 1
O enunciado dá a equação de estado de Dieterici e pede duas coisas. As informações fornecidas são:
As perguntas são:
- (a) Mostrar que as constantes críticas satisfazem
- (b) Calcular
para a equação de Dieterici.
Passo 2
Primeiro escrevemos
explicitamente como função de
e
. Isolando
na equação dada temos
Aqui
e
são constantes;
é o volume molar e
a temperatura.
Passo 3
Para obter as constantes críticas usamos a condição usual: no ponto crítico a isoterma tem ponto de inflexão, então as derivadas primeiras e segundas de
em relação a
(à temperatura fixa) se anulam. Ou seja,
Vamos primeiro calcular
. Para simplificar, defina
assim
e
Derivando em
(mantendo
constante) e usando regra do produto:
Igualando a zero (o fator
é não-nulo) obtemos a condição
Multiplicando por
dá
ou seja
Voltando a
, isso é
Esta é a primeira relação entre
e
no ponto crítico.
Passo 4
Agora derivamos a segunda vez. Partindo da expressão
temos
e, portanto, a condição
equivale a
. Calculamos
passo a passo.
Derivando o primeiro termo:
Derivando o segundo termo (usar produto):
Somando, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agrupando os termos com
:
Agora usamos a relação do Passo 3, que pode ser escrita
. Substituindo
nesta equação:
que simplifica para
Desenvolvendo:
Como
, divide-se por
e obtém-se
Portanto o volume molar crítico é
Passo 5
Agora encontramos
usando a relação do Passo 3. Reescrevendo aquela relação:
Substituindo
:
Portanto
Passo 6
Finalmente calculamos
substituindo
e
na expressão de
:
Em
temos
. Em
e
o expoente fica
Logo
. Também
. Assim
Passo 7
Agora resolvemos a parte (b): calcular
. É mais prático reescrever a expressão de
na forma
Para derivar em relação a
com
fixo, defina
(constante quando
está fixo). Então
Derivando em
:
Voltando a
e à forma original do expoente
, obtemos a expressão final