3.35 Dois vetores, \vec{r} e \vec{s}, estão no plano x y. Os módulos dos vetores são 4,50 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320^{\circ} e 85,0^{\circ}, respectivam anti-horário em relação ao semieixo x positivo. Quais são os valores de (a) \vec{r} \cdot \vec{s}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que está escrito):
  • Dois vetores no plano xy: \vec{r} e \vec{s}.
  • O módulo de \vec{r} é 4{,}50 unidades (peguei isto do enunciado).
  • O módulo de \vec{s} NÃO FOI INFORMADO no enunciado recebido (isto é importante).
  • A orientação (ângulo medido anti-horário a partir do semieixo x positivo) é:
    • \theta_r = 320^\circ para \vec{r}.
    • \theta_s = 85{,}0^\circ para \vec{s}.
  • A pergunta (parte (a)) é: calcular \vec{r}\cdot\vec{s}.
Observação importante: como o enunciado não forneceu o módulo de \vec{s}, não há como obter um valor numérico final absoluto. Ainda assim, vou mostrar passo a passo como se resolve a questão e apresentar a resposta em termos do módulo desconhecido de \vec{s}, além de dar o valor numérico que multiplicaria esse módulo.

Passo 2

O que é o produto escalar e quais fórmulas usar (explicação didática):
  • Definição por componentes: se \vec{r}=(r_x,r_y) e \vec{s}=(s_x,s_y), então
\vec{r}\cdot\vec{s}=r_x s_x + r_y s_y.
Aqui r_x é a componente x do vetor \vec r, r_y é a componente y, e análogamente para \vec s.
  • Definição em termos de módulos e ângulo entre vetores: se |\vec r|=r, |\vec s|=s e \varphi é o ângulo entre eles,
\vec{r}\cdot\vec{s}=r\,s\,\cos\varphi.
Essa segunda forma é muito prática quando conhecemos os módulos e as direções angulares dos vetores.
Também precisamos saber como obter as componentes a partir do módulo e do ângulo (forma polar → cartesiana). Se um vetor tem módulo R e ângulo \theta (medido anti-horário a partir do eixo x positivo), então
R_x = R\cos\theta,\qquad R_y = R\sin\theta.
Vou usar essas duas ideias (componentes e/ou fórmula com \cos do ângulo entre os vetores) para resolver o problema.

Passo 3

Escrever as componentes de \vec r e \vec s em função dos módulos e ângulos:
  • Denotemos r=|\vec r|=4{,}50 e s=|\vec s| (desconhecido).
  • Ângulos: \theta_r=320^\circ, \theta_s=85{,}0^\circ.
    Então, pelas fórmulas de conversão:
r_x = r\cos(320^\circ),\qquad r_y = r\sin(320^\circ),
s_x = s\cos(85^\circ),\qquad s_y = s\sin(85^\circ).

Passo 4

Calcular o produto escalar usando as componentes e simplificar com identidade trigonométrica:
Começamos com
\vec{r}\cdot\vec{s}=r_x s_x + r_y s_y = \big(r\cos\theta_r\big)\big(s\cos\theta_s\big) + \big(r\sin\theta_r\big)\big(s\sin\theta_s\big).
Fatorando r s:
\vec{r}\cdot\vec{s}=r s\big(\cos\theta_r\cos\theta_s + \sin\theta_r\sin\theta_s\big).
Usando a identidade trigonométrica
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B,
obtemos a forma mais simples
\vec{r}\cdot\vec{s}=r s \cos(\theta_r-\theta_s).
Essa é uma forma muito útil: o produto escalar é o produto dos módulos vezes o cosseno da diferença dos ângulos diretores.

Passo 5

Aplicar os valores do problema (e lidar com a falta do módulo de \vec s):
  • A diferença de ângulos é
\theta_r-\theta_s = 320^\circ - 85^\circ = 235^\circ.
  • Logo,
\vec{r}\cdot\vec{s}=r s \cos(235^\circ).
Sabendo que r=4{,}50, substituímos:
\vec{r}\cdot\vec{s}=4{,}50\;s\;\cos(235^\circ).
Agora vamos avaliar \cos(235^\circ) numericamente para dar a forma numérica: 235^\circ = 180^\circ+55^\circ, então \cos(235^\circ)=-\cos(55^\circ). Usando uma aproximação padrão,
\cos(55^\circ)\approx 0{,}573576\quad\Rightarrow\quad \cos(235^\circ)\approx -0{,}573576.
Portanto
\vec{r}\cdot\vec{s}\approx 4{,}50\cdot s\cdot(-0{,}573576)\approx -2{,}5811\;s.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais após a vírgula):
\vec{r}\cdot\vec{s}\approx -2{,}58\;s.
Interpretação física rápida: o resultado tem sinal negativo porque o ângulo entre os vetores ( 235^\circ diferença de direções) é obtuso (mais de 90^\circ), então o cosseno é negativo.

Passo 6

Como usar isso na prova caso o exercício forneça o módulo de \vec{s} (ou se você souber o valor):
  • Se o enunciado desse s (por exemplo s=2{,}00), bastaria multiplicar: \vec r\cdot\vec s \approx -2{,}58\times 2{,}00 = -5{,}16.
  • O procedimento completo que deve ser memorizado para a prova: converter para componentes ou usar diretamente r s \cos(\theta_r-\theta_s). Isso evita ter que calcular as quatro componentes separadamente e é mais rápido.

Resposta

Não é possível determinar numericamente porque o enunciado não fornece o módulo de \vec{s}. Em termos do módulo s=|\vec{s}|:
\vec{r}\cdot\vec{s}=4{,}50\;s\;\cos(235^\circ)\approx -2{,}58\;s.

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