3.35 Dois vetores,
e
, estão no plano
. Os módulos dos vetores são 4,50 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a
e
, respectivam anti-horário em relação ao semieixo x positivo. Quais são os valores de (a)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que está escrito):
- Dois vetores no plano
: e . - O módulo de
é unidades (peguei isto do enunciado). - O módulo de
NÃO FOI INFORMADO no enunciado recebido (isto é importante). - A orientação (ângulo medido anti-horário a partir do semieixo
positivo) é: -
para . -
para .
-
- A pergunta (parte (a)) é: calcular
.
Observação importante: como o enunciado não forneceu o módulo de
, não há como obter um valor numérico final absoluto. Ainda assim, vou mostrar passo a passo como se resolve a questão e apresentar a resposta em termos do módulo desconhecido de
, além de dar o valor numérico que multiplicaria esse módulo.
Passo 2
O que é o produto escalar e quais fórmulas usar (explicação didática):
- Definição por componentes: se
e , então
Aqui
é a componente
do vetor
,
é a componente
, e análogamente para
.
- Definição em termos de módulos e ângulo entre vetores: se
, e é o ângulo entre eles,
Essa segunda forma é muito prática quando conhecemos os módulos e as direções angulares dos vetores.
Também precisamos saber como obter as componentes a partir do módulo e do ângulo (forma polar → cartesiana). Se um vetor tem módulo
e ângulo
(medido anti-horário a partir do eixo
positivo), então
Vou usar essas duas ideias (componentes e/ou fórmula com
do ângulo entre os vetores) para resolver o problema.
Passo 3
Escrever as componentes de
e
em função dos módulos e ângulos:
- Denotemos
e (desconhecido). - Ângulos:
, .
Então, pelas fórmulas de conversão:
Passo 4
Calcular o produto escalar usando as componentes e simplificar com identidade trigonométrica:
Começamos com
Começamos com
Fatorando
:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos a forma mais simples
Essa é uma forma muito útil: o produto escalar é o produto dos módulos vezes o cosseno da diferença dos ângulos diretores.
Passo 5
Aplicar os valores do problema (e lidar com a falta do módulo de
):
- A diferença de ângulos é
- Logo,
Sabendo que
, substituímos:
Agora vamos avaliar
numericamente para dar a forma numérica:
, então
. Usando uma aproximação padrão,
Portanto
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais após a vírgula):
Interpretação física rápida: o resultado tem sinal negativo porque o ângulo entre os vetores (
diferença de direções) é obtuso (mais de
), então o cosseno é negativo.
Passo 6
Como usar isso na prova caso o exercício forneça o módulo de
(ou se você souber o valor):
- Se o enunciado desse
(por exemplo ), bastaria multiplicar: . - O procedimento completo que deve ser memorizado para a prova: converter para componentes ou usar diretamente
. Isso evita ter que calcular as quatro componentes separadamente e é mais rápido.
Resposta
Não é possível determinar numericamente porque o enunciado não fornece o módulo de
. Em termos do módulo
: