São dados três vetores em metros: vec{d}_{1}=-3,0 \hat{\imath}+3,0 \hat{\jmath}+2,0 \hat{k}
\begin{gathered} \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{\imath}-4,0 \hat{\jmath}+2,0 \hat{k} \\\ \vec{d}_{3}=2,0 \hat{\imath}+3,0 \hat{\jmath}+1,0 \hat{k} \end{gathered}
Determine \vec{d}_{1} \cdot\left(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar \vec{d}_{1}\cdot\left(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\right). As informações dadas (peguei os números do enunciado) são os três vetores em metros:
\vec{d}_{1}=-3,0\hat{\imath}+3,0\hat{\jmath}+2,0\hat{k},
\vec{d}_{2}=-2,0\hat{\imath}-4,0\hat{\jmath}+2,0\hat{k},
\vec{d}_{3}=2,0\hat{\imath}+3,0\hat{\jmath}+1,0\hat{k}.

Passo 2

Primeiro calculemos a soma vetorial \vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} fazendo a soma componente a componente. Em geral, para vetores (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) tem-se (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2). Aplicando:
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}=(-2,0+2,0)\hat{\imath}+(-4,0+3,0)\hat{\jmath}+(2,0+1,0)\hat{k}.
Fazendo as somas:
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}=0,0\hat{\imath}-1,0\hat{\jmath}+3,0\hat{k}.

Passo 3

Agora vamos usar a definição do produto escalar em coordenadas cartesianas. Para \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) vale
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Aqui \vec{d}_{1}=(-3,0,\,3,0,\,2,0) e \vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}=(0,0,\,-1,0,\,3,0). Então:
\vec{d}_{1}\cdot\left(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\right)=(-3,0)(0,0) + (3,0)(-1,0) + (2,0)(3,0).
Calcule os produtos:
(-3,0)(0,0)=0,0,\qquad (3,0)(-1,0)=-3,0,\qquad (2,0)(3,0)=6,0.
Somando:
0,0+(-3,0)+6,0=3,0.

Passo 4

Interpretação final rápida: o produto escalar resultou em um escalar \,3,0. Como os vetores estavam em metros, a unidade do produto escalar é \text{m}^2. Dica para prova: sempre some componentes primeiro se a expressão pede \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}); é rotina componente a componente e evita erros de sinal.

Resposta

\;3,0\\ \text{m}^2

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