3- (35) Durante um churrasco em um dia quente de verão, todas as cervejas geladas acabam e as únicas disponíveis estão à temperatura ambiente, que é de 32^{\circ} \mathrm{C}. Em um esforço para restabelecer o estoque de cerveja gelada, um pessoal coloca latas submersas na água gelada de uma caixa de gelo, que tem sua temperatura mantida a 0^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor entre a água e a lata é de 170 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Utilizando as propriedades da água para a cerveja \left[p=996 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}_{p}=4178\right. \left.J /\left(k g{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) ; k=0,68 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ; \alpha=1,6341 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right], estime quanto tempo levará para que a cerveja lata tem 8 cm de diâmetro e 15 cm de altura e que está totalmente preenchida com cerveja. atinja 3{ }^{\circ} \mathrm{C} no seu ponto mais quente. Considere transferência de calor unidimensional em r , que a

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento radial de uma lata de cerveja (cilindro sólido de raio interno cheio de cerveja) submersa em água a 0{}^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=170\\ \mathrm{W/(m^2\,^{\circ}C)}. A lata tem diâmetro D=0,08\\ \mathrm m e altura L=0,15\\ \mathrm m, a cerveja parte de T_i=32{}^{\circ}\mathrm{C} e queremos o tempo para que o ponto mais quente (o centro radial) atinja T=3{}^{\circ}\mathrm{C}. Vamos usar a solução de Condução Transiente em coordenadas cilíndricas com condição de convecção na superfície lateral e considerar apenas o primeiro termo do desenvolvimento em autovalores.

Passo 2

Calcule as dimensões características e propriedades:
Raio do cilindro
R = \frac{D}{2} = 0{,}04\\ \mathrm m.
Difusividade térmica
\alpha = 1{,}6341\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Temperatura do banho
T_{\infty}=0{}^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura inicial
T_i=32{}^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura desejada no centro
T_c=3{}^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura reduzida (adimensional) no centro
\theta^* = \frac{T_c - T_{\infty}}{T_i - T_{\infty}} = \frac{3}{32} \approx 0{,}09375.

Passo 3

Calcule o número de Biot para condução radial no cilindro:
\mathrm{Bi} = \frac{h\,R}{k} = \frac{170\cdot0{,}04}{0{,}68} \approx 10{,}0.
Como \mathrm{Bi}\gg0{,}1, não se pode usar o modelo de capacitância concentrada; empregamos a série de autovalores.

Passo 4

Na solução pelo primeiro termo para o centro do cilindro vem
\theta^* \;\approx\; A_1 \,\exp\bigl(-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde
\mathrm{Fo} = \frac{\alpha\,t}{R^2}
é o número de Fourier, e \lambda_1 é o primeiro autovalor que satisfaz
\lambda_1\,J_1(\lambda_1) \;=\;\mathrm{Bi}\;J_0(\lambda_1).

Passo 5

Estimamos numericamente \lambda_1 no intervalo 0<\lambda<2{,}405 (primeiro zero de J_0) de modo que
\lambda_1\,J_1(\lambda_1)/J_0(\lambda_1)=10.
Através de iterações obtemos
\lambda_1 \approx 2{,}10.

Passo 6

O coeficiente A_1 para o centro é
A_1 = \frac{2}{\lambda_1\,J_1(\lambda_1)}
e, usando J_1(2{,}10)\approx0{,}50, dá
A_1 \approx \frac{2}{2{,}10\cdot0{,}50}\approx1{,}90.
Então impomos
0{,}09375 = 1{,}90\;\exp\bigl(-2{,}10^2\,\mathrm{Fo}\bigr) \;\Longrightarrow\; \exp(-4{,}41\,\mathrm{Fo}) = \frac{0{,}09375}{1{,}90} \approx0{,}0493.
Assim
-4{,}41\,\mathrm{Fo} = \ln(0{,}0493)\approx -3{,}01 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Fo} \approx \frac{3{,}01}{4{,}41}\approx0{,}683.

Passo 7

Retornando ao tempo
t = \frac{\mathrm{Fo}\;R^2}{\alpha} = \frac{0{,}683\;\times(0{,}04)^2}{1{,}6341\times10^{-7}} \approx\frac{0{,}001093}{1{,}6341\times10^{-7}} \approx6{,}7\times10^{3}\\ \mathrm s \approx112\\ \mathrm{min}.

Resposta

O tempo estimado para que o centro da lata atinja 3{}^{\circ}\mathrm{C} é, aproximadamente, 112 minutos (cerca de 1,9 horas).

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