3- (35) Durante um churrasco em um dia quente de verão, todas as cervejas geladas acabam e as únicas disponíveis estão à temperatura ambiente, que é de
. Em um esforço para restabelecer o estoque de cerveja gelada, um pessoal coloca latas submersas na água gelada de uma caixa de gelo, que tem sua temperatura mantida a
. O coeficiente de transferência de calor entre a água e a lata é de
. Utilizando as propriedades da água para a cerveja
, estime quanto tempo levará para que a cerveja lata tem 8 cm de diâmetro e 15 cm de altura e que está totalmente preenchida com cerveja. atinja
no seu ponto mais quente. Considere transferência de calor unidimensional em r , que a
Passo 1
O enunciado trata do resfriamento radial de uma lata de cerveja (cilindro sólido de raio interno cheio de cerveja) submersa em água a
com coeficiente de convecção
. A lata tem diâmetro
e altura
, a cerveja parte de
e queremos o tempo para que o ponto mais quente (o centro radial) atinja
. Vamos usar a solução de Condução Transiente em coordenadas cilíndricas com condição de convecção na superfície lateral e considerar apenas o primeiro termo do desenvolvimento em autovalores.
Passo 2
Calcule as dimensões características e propriedades:
Raio do cilindro
Raio do cilindro
Difusividade térmica
Temperatura do banho
Temperatura inicial
Temperatura desejada no centro
Temperatura reduzida (adimensional) no centro
Passo 3
Calcule o número de Biot para condução radial no cilindro:
Como
, não se pode usar o modelo de capacitância concentrada; empregamos a série de autovalores.
Passo 4
Na solução pelo primeiro termo para o centro do cilindro vem
onde
é o número de Fourier, e
é o primeiro autovalor que satisfaz
Passo 5
Estimamos numericamente
no intervalo
(primeiro zero de
) de modo que
Através de iterações obtemos
Passo 6
O coeficiente
para o centro é
e, usando
, dá
Então impomos
Assim
Passo 7
Retornando ao tempo
Resposta
O tempo estimado para que o centro da lata atinja
é, aproximadamente,
minutos (cerca de
horas).