1- Considere um sistema para aquecimento de água a partir do escoamento em um tubo. A água entra no tubo a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} e deve sair a uma temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C}. O tubo possui um diâmetro interno de 20 mm e externo de 40 mm . A superfície externa do tubo é perfeitamente isolada e nas paredes do tubo energia elétrica é convertida em calor a uma taxa de geração volumétrica de 10^{6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. Dados: \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4179 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ; \mu= 631 \times 10^{-6} \mathrm{~Pa}.s.
a) Para uma vazão mássica de 0,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, qual deverá ser o comprimento do tubo para se atingir a temperatura média de saída? \mathbf{R}: \mathbf{L}=\mathbf{1 7 , 7 ~ m}.
b) Determine o valor do comprimento de entrada hidrodinâmico e térmico e o valor do coeficiente de transferência de calor por convecção na região térmica plenamente desenvolvida, dado que na posição \mathrm{x}=\mathrm{L} a T da superfície é de 70^{\circ} \mathrm{C} . \mathbf{R}: \mathbf{h}=\mathbf{1 5 0 0 , 8} \mathbf{W} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}} . \mathbf{K}.
c) Determine o valor das temperaturas em função da posição, conforme Tabela a seguir.
\mathrm{x}(\mathrm{m}) \mathrm{T}_{\mathrm{m}(\mathrm{x})}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{T}_{\mathrm{s}(\mathrm{x})}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \left(\mathrm{T}_{\mathrm{s}(\mathrm{x})}-\mathrm{T}_{\mathrm{m}(\mathrm{x})}\right)\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
1,0 \mathbf{2 2 , 6} \mathbf{3 2 , 6} \mathbf{1 0}
5,0
10,0
15,0
L
Dados devem ser obtidos na média da temperatura média.

Passo 1

O enunciado trata de aquecimento de água em escoamento interno num tubo cilíndrico, com geração volumétrica uniforme de calor na parede, isolada externamente. A água entra a 20^\circ\mathrm C e sai a 60^\circ\mathrm C. Dados necessários: balanço de energia para achar o comprimento L; número de Reynolds e propriedade de entrada para calcular os comprimentos de entrada hidrodinâmico e térmico; relação de convecção plena ( T_s-T_m=\tfrac{q''}{h}) para achar o coeficiente de convecção h; e expressão do perfil de temperatura média e da parede para montar a tabela pedida.

Passo 2

Calcular L pelo balanço de energia
Q = \dot m\,c_p\,(T_{\rm out}-T_{\rm in}) \quad\text{e}\quad Q = q'''\,A_{\rm parede}\,L,
onde
A_{\rm parede} = \pi\bigl(R_o^2 - R_i^2\bigr) = \pi\bigl((0{,}02)^2 - (0{,}01)^2\bigr)\\ {\rm m^2} \approx0{,}0003\pi,
logo
L = \frac{\dot m\,c_p\,(60-20)} {q'''\,A_{\rm parede}} = \frac{0{,}1\cdot4179\cdot40}{10^6\cdot0{,}0003\pi} \approx17{,}7\\ {\rm m}.

Passo 3

Determinar o comprimento de entrada hidrodinâmico L_h e térmico L_t. Primeiro o número de Reynolds:
u = \frac{\dot m}{\rho\,A_i} =\frac{0{,}1}{1000\cdot\pi(0{,}02)^2/4}\approx0{,}318\\ {\rm m/s},
Re=\frac{\rho\,u\,D_i}{\mu} =\frac{1000\cdot0{,}318\cdot0{,}02}{631\times10^{-6}}\approx1,0\times10^4.
Para escoamento turbulento tipicamente
L_h = 0{,}05\,Re\,D_i \approx0{,}05\cdot10^4\cdot0{,}02\approx10{,}1\\ {\rm m},
Pr\approx4{,}38, \quad L_t = L_h\,Pr\approx10{,}1\cdot4{,}38\approx44{,}2\\ {\rm m}.

Passo 4

Na região de convecção plenamente desenvolvida e geração volumétrica uniforme, a diferença de temperatura entre parede e fluido é constante:
T_s - T_m = \frac{q''}{h}.
O fluxo de calor por unidade de área interna é
q'' = \frac{q'''\,A_{\rm parede}}{\pi D_i} = \frac{10^6\cdot\pi\,(0{,}02^2-0{,}01^2)/4}{\pi\cdot0{,}02} =1{,}5\times10^4\\ {\rm W/m^2}.
Sabe-se em x=L que T_s(L)-T_m(L)=70-60=10 K, logo
h = \frac{q''}{T_s - T_m} =\frac{1{,}5\times10^4}{10} =1{,}500\\ {\rm W/(m^2K)} \quad(\approx1{,}500{,}8).

Passo 5

Expressão das temperaturas em função de x:
T_m(x) = T_{\rm in} + \frac{q''\,\pi D_i}{\dot m\,c_p}\,x =20 + \frac{1{,}5\times10^4\cdot\pi\cdot0{,}02}{0{,}1\cdot4179}\,x \approx20 +2{,}26\,x,
T_s(x)=T_m(x)+\frac{q''}{h}=T_m(x)+10.
Substituindo x=1,5,10,15,17{,}7 m:
x (m) | T_m(x) (°C) | T_s(x) (°C) | T_s-T_m (°C)
1,0 | 22,3 | 32,3 | 10
5,0 | 31,3 | 41,3 | 10
10,0 | 42,6 | 52,6 | 10
15,0 | 53,9 | 63,9 | 10
17,7 | 60,0 | 70,0 | 10

Resposta

a) L=17{,}7\\ {\rm m}.
b) L_h\approx10{,}1\\ {\rm m},\;L_t\approx44{,}2\\ {\rm m},\;h\approx1{,}500{,}8\\ {\rm W/(m^2K)}.
c) Veja a tabela acima.

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