Resolva a seguinte equação diferencial utilizando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-10 y+25=\sqrt{2} \operatorname{sen} \sqrt{2} t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-10y+25=\sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}\,t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos transformar cada termo, resolver algebricamente para Y(s), fazer frações parciais e então retornar ao domínio do tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, com Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),
\mathcal{L}\{-10y\}=-10Y(s),\quad \mathcal{L}\{25\}=\frac{25}{s},
\mathcal{L}\{\sqrt2\sin(\sqrt2t)\} =\sqrt2\;\frac{\sqrt2}{s^2+2} =\frac{2}{s^2+2}.
Logo a equação no domínio de s é
s^2Y(s)-10Y(s)+\frac{25}{s}=\frac{2}{s^2+2},
ou seja
\bigl(s^2-10\bigr)Y(s) =\frac{2}{s^2+2}-\frac{25}{s},
Y(s) =\frac{2}{(s^2+2)(s^2-10)} -\frac{25}{s\,(s^2-10)}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em cada parcela:
\frac{2}{(s^2+2)(s^2-10)} =\frac{A}{s^2-10}+\frac{B}{s^2+2},
com 2=A(s^2+2)+B(s^2-10). Igualando coeficientes obtém-se A=1/6, B=-1/6.
\frac{2}{(s^2+2)(s^2-10)} =\frac{1/6}{s^2-10}-\frac{1/6}{s^2+2}.
E
\frac{25}{s\,(s^2-10)} =\frac{A'}{s}+\frac{B'\,s}{s^2-10},
com 1=A'(s^2-10)+B's^2 leva a A'=-1/10, B'=1/10. Assim
\frac{25}{s\,(s^2-10)} =\frac{5/2}{s}-\frac{5/2\,s}{s^2-10}.
Portanto
Y(s) =\frac{1/6}{s^2-10} -\frac{1/6}{s^2+2} +\frac{5/2}{s} -\frac{5/2\,s}{s^2-10}.

Passo 4

Invertemos cada termo usando tabelas de transformadas:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s}\Bigr\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s}{s^2-10}\Bigr\}=\operatorname{cosh}(\sqrt{10}t),
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s^2-10}\Bigr\}=\frac{\operatorname{sinh}(\sqrt{10}t)}{\sqrt{10}}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s^2+2}\Bigr\}=\frac{\sin(\sqrt{2}t)}{\sqrt{2}}.
Juntando tudo, obtemos
y(t) =\frac{5}{2} -\frac{5}{2}\operatorname{cosh}(\sqrt{10}t) +\frac{1}{6\sqrt{10}}\operatorname{sinh}(\sqrt{10}t) -\frac{1}{6\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t).
Conferimos que y(0)=0 e y'(0)=0, conforme condições iniciais.

Resposta

y(t) =\frac{5}{2}\bigl(1-\operatorname{cosh}(\sqrt{10}\,t)\bigr) +\frac{1}{6\sqrt{10}}\operatorname{sinh}(\sqrt{10}\,t) -\frac{1}{6\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t).

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